《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1.如果函数$y = f(x)$在区间$[a,b]$上的图象是一条连续不断的曲线，且有$f(a)f(b) ＜ 0$，那么，函数$y = f(x)$在区间$(a,b)$内至少有一个零点，即存在$c\in(a,b)$，使得$f(c)=0$，这个$c$也就是方程$f(x)=0$的解.

答案： 1.连续不断，$f(a)f(b) ＜ 0$，至少，$f(c)=0$

[例2] 函数$f(x)=e^{x}+x - 2$的零点所在的一个区间是 ( )

A.$(-2,-1)$
B.$(-1,0)$
C.$(0,1)$
D.$(1,2)$

答案： [例2]　[答案]　C
[解析]　$\because f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增，$f(0)= -1 ＜ 0$，$f(1)=e - 1 ＞ 0$，
$\therefore f(0) · f(1) ＜ 0$。由函数零点存在定理，知$f(x)$的零点在$(0,1)$内，C正确。

2.(1)若$f(x)=x^{3}-x - 1$仅有一个大于$0$的零点，则此零点所在区间为 ( )
A.$(3,4)$
B.$(2,3)$
C.$(1,2)$
D.$(0,1)$

答案： 跟踪训练　2.答案：
(1)C　
解析：
(1)因为$f(1)= -1 ＜ 0$，$f(2)=5 ＞ 0$，$f(1) · f(2) ＜ 0$，
所以由函数零点存在定理，知$f(x)$的零点在$(1,2)$内。

(2)已知函数$f(x)=e^{x}-x - 2$有一个零点所在的区间为$(k,k + 1)(k\in\mathbf{N}^{*})$，则$k$可能等于 ( )
A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$

答案：
(2)B
因为$f(1)=e - 1 - 2 ＜ 0$，$f(2)=e^{2}-2 - 2 ＞ 0$，$f(3)=e^{3}-3 - 2 ＞ 0$，$f(4)=e^{4}-4 - 2 ＞ 0$，所以$f(1) · f(2) ＜ 0$，且函数的图象连续不断，所以函数$f(x)=e^{x}-x - 2$有一个零点所在的区间为$(1,2)$，故$k$可能等于1。

1.函数$f(x)$零点个数⇔方程$f(x)=0$解的个数⇔函数$f(x)$的图象与$x$轴交点的个数.

答案： 1.个数，$x$轴

2.若函数$f(x)=g(x)-h(x)$，则函数$g(x)$和$h(x)$图象交点的个数就是函数$f(x)$零点的个数.

答案： 2.交点

[例3] 判断函数$f(x)=e^{x}+2x + 3$的零点个数.
[分析] 法一：先取一个适当区间，根据函数零点存在定理判断有无零点，再利用函数单调性确定零点个数；法二：转化为函数$y = e^{x}$与$y = -2x - 3$图象的交点问题.

答案： [例3]　[解]　法一：$\because f(-2)=e^{-2}-4 + 3=\frac{1}{e^{2}}-1 ＜ 0$，$f(0)=4 ＞ 0$，
函数$f(x)=e^{x}+2x + 3$在区间$(-2,0)$内有零点。
又$\because f(x)=e^{x}+2x + 3$在$\mathbf{R}$上是单调递增函数，
$\therefore f(x)=e^{x}+2x + 3$在$\mathbf{R}$上有且只有一个零点。
法二：求函数$f(x)=e^{x}+2x + 3$的零点，即方程$e^{x}+2x + 3 = 0$的根，也即$e^{x}= -2x - 3$的根。令$M(x)=e^{x}$，$N(x)= -2x - 3$，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象（图略），由图知$M(x)=e^{x}$与$N(x)= -2x - 3$的图象有且只有一个交点，即函数$f(x)=e^{x}+2x + 3$只有一个零点。

[例4] 已知$0 ＜ a ＜ 1$，则函数$y = a^{|x|}-|\log_{a}x|$的零点的个数为 (B)
A.$1$ B.$2$
C.$3$ D.$4$
[分析]
构造函数$f(x)=a^{|x|}(0 ＜ a ＜ 1)$与$g(x)=|\log_{a}x|(0 ＜ a ＜ 1)$
画出$f(x)$与$g(x)$的图象 观察图象得零点的个数
[变条件] 把本例函数“$y = a^{|x|}-|\log_{a}x|$”改为“$y = 2^{x}|\log_{a}x|-1$”，再判断其零点个数.

答案：
[例4]　[答案]　B
[解析]　函数$y = a^{|x|}-|\log_{a}x|(0 ＜ a ＜ 1)$的零点的个数即方程$a^{|x|}=|\log_{a}x|(0 ＜ a ＜ 1)$的根的个数，也就是函数$f(x)=a^{|x|}(0 ＜ a ＜ 1)$与$g(x)=|\log_{a}x|(0 ＜ a ＜ 1)$的图象的交点的个数。
　　　
画出函数$f(x)=a^{|x|}(0 ＜ a ＜ 1)$与$g(x)=|\log_{a}x|(0 ＜ a ＜ 1)$的图象，如图所示，观察可得函数$f(x)=a^{|x|}(0 ＜ a ＜ 1)$与$g(x)=|\log_{a}x|(0 ＜ a ＜ 1)$的图象的交点的个数为$2$，从而函数$y = a^{|x|}-|\log_{a}x|$的零点的个数为$2$。
[变条件]　解：由$2^{x}|\log_{a}x|-1 = 0$得$|\log_{a}x|=(\frac{1}{2})^{x}$，作出$y = (\frac{1}{2})^{x}$及$y = |\log_{a}x|(0 ＜ a ＜ 1)$的图象如图所示。
　　　　　　　　　　　　　　　　
由图可知，两函数的图象有两个交点，所以函数$y = 2^{x}|\log_{a}x|-1$有两个零点。