《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

[例4] 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观察站,测量最大积雪深度$x$与当年灌溉面积$y$.现有连续 10 年的实测资料,如表所示.

(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型,并画出图象；
(3)根据所建立的函数模型,估计若今年最大积雪深度为 25 cm,则可以灌溉土地多少公顷？

答案：
[解]
(1)描点、作图，如图甲所示: 　　
(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积$y$与最大积雪深度满足一次函数模型$y = a + bx$（$a,b$为常数且$b \neq 0$）.取其中的两组数据$(10.4,21.1),(24.0,45.8)$，代入$y = a + bx$，得$\begin{cases}21.1 = a + 10.4b\\45.8 = a + 24.0b\end{cases}$，用计算器可得$a \approx 2.2$，$b \approx 1.8$.这样，得到一个函数模型：$y = 2.2 + 1.8x$，作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系.
(3)由
(2)得到的函数模型为$y = 2.2 + 1.8x$，则当$x = 25$时，$y = 2.2 + 1.8 × 25 = 47.2$，即当最大积雪深度为$25 cm$时，可以灌溉土地约为$47.2$公顷.

5. 某企业常年生产一种出口产品,近年来,该产品的产量平稳增长.记 2018 年为第 1 年,且前 4 年中,第$x$年与年产量$f(x)$(万件)之间的关系如表所示:

若$f(x)$近似符合以下三种函数模型之一:$f(x)=ax+b$,$f(x)=2^x+a$,$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}x+a$.
找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后选取 2018 年和 2020 年的数据求出相应的解析式.

答案： 解：最适合的函数模型是$f(x) = ax + b$，理由如下.
若模型为$f(x) = 2^{x} + a$，则$f(1) = 2^{1} + a = 4$，
得$a = 2$，即$f(x) = 2^{x} + 2$，
此时$f(2) = 6$，$f(3) = 10$，$f(4) = 18$，与已知相差太大，不符合.
若模型为$f(x) = \log_{\frac{1}{2}}x + a$，
则$f(x)$是减函数，与已知不符合.
由已知得$\begin{cases}a + b = 4\\3a + b = 7\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = \frac{3}{2}\\b = \frac{5}{2}\end{cases}$
所以$f(x) = \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}(x \in \mathbf{N})$.