《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

命题 $ p $ 与 $ \neg p $ 的真假性只能一真一假.

答案： 一真一假

[例 4] 已知命题“$ \forall x \in \mathbf{R}, ax^2 + 2x + 1 \neq 0 $”为假命题，求实数 $ a $ 的取值范围.
变条件
将本例中的条件“$ ax^2 + 2x + 1 \neq 0 $”改为“$ 2x \neq -x^2 + a $”，求实数 $ a $ 的取值范围.

答案： [例4] [解] 因为原命题为假命题，所以原命题的否定为真命题，即命题“$\exists x\in \mathbf{R},ax^{2}+2x + 1 = 0$”为真命题，则关于$x$的方程$ax^{2}+2x + 1 = 0$有实根.
所以$a = 0$或$\begin{cases}a\neq0,\\\Delta = 4 - 4a\geq0,\end{cases}$
解之得$a = 0$或$a\leq1$且$a\neq0$，所以$a\leq1$.
所以实数$a$的取值范围为$\{a|a\leq1\}$.
[变条件] 解：因为命题“$\forall x\in \mathbf{R},2x\neq -x^{2}+a$”是假命题，所以此命题的否定“$\exists x\in \mathbf{R},2x = -x^{2}+a$”是真命题，即$x^{2}+2x - a = 0$有实根，所以$\Delta = 4 + 4a\geq0$，则$a\geq - 1$，所以实数$a$的取值范围是$\{a|a\geq - 1\}$.

4. 已知命题 $ p $：$ \forall x \in \{ x | -3 \leqslant x \leqslant 2 \} $，都有 $ x \in \{ x | a - 4 \leqslant x \leqslant a + 5 \} $，且 $ \neg p $ 是假命题，求实数 $ a $ 的取值范围.

答案： 跟踪训练 4.解：因为$\neg p$是假命题，所以$p$是真命题.
又$\forall x\in\{x|-3\leq x\leq2\}$，都有$x\in\{x|a - 4\leq x\leq a + 5\}$，所以$\{x|-3\leq x\leq2\}\subseteq\{x|a - 4\leq x\leq a + 5\}$，则$\begin{cases}a - 4\leq - 3,\\a + 5\geq2,\end{cases}$
解得$-3\leq a\leq1$，经检验端点处也成立.
故实数$a$的取值范围是$\{a|-3\leq a\leq1\}$.

1. 设命题 $ p $：$ \forall x \in \mathbf{N}, x \in \mathbf{Z} $，则 $ \neg p $ 为(B)

A.$ \forall x \in \mathbf{N}, x \notin \mathbf{Z} $
B.$ \exists x \in \mathbf{N}, x \notin \mathbf{Z} $
C.$ \forall x \notin \mathbf{N}, x \in \mathbf{Z} $
D.$ \exists x \in \mathbf{N}, x \in \mathbf{Z} $

答案： 1.$B$命题$p$是全称量词命题，求$\neg p$只需把“$\forall$”改成“$\exists$”，把“$\in$”改成“$\notin$”即可.

2. 命题 $ p $：$ \exists m \in \mathbf{R} $，方程 $ x^2 + mx + 1 = 0 $ 有实数根，则 $ \neg p $ 是(B)

A.$ \exists m \in \mathbf{R} $，方程 $ x^2 + mx + 1 = 0 $ 无实数根
B.$ \forall m \in \mathbf{R} $，方程 $ x^2 + mx + 1 = 0 $ 无实数根
C.$ \forall m \in \mathbf{R} $，方程 $ x^2 + mx + 1 = 0 $ 有实数根
D.至多有一个实数 $ m $，使方程 $ x^2 + mx + 1 = 0 $ 有实数根

答案： 2.$B$存在量词命题的否定是全称量词命题，把“$\exists$”改成“$\forall$”，把“有实数根”改成“无实数根”.

3. 已知命题 $ p $：存在 $ x \in \mathbf{R} $，$ x^2 + 2x + a = 0 $. 若命题 $ p $ 是真命题，则实数 $ a $ 的取值范围是$\{a|a\leq1\}$.

答案： 3.答案：$\{a|a\leq1\}$
解析：存在$x\in \mathbf{R},x^{2}+2x + a = 0$为真命题，$\Delta = 4 - 4a\geq0$，$\therefore a\leq1$.

4. 若命题“$ \forall x \in \mathbf{R}, x^2 - 4x + a \neq 0 $”为假命题，则实数 $ a $ 的取值范围是$\{a|a\leq4\}$.

答案： 4.答案：$\{a|a\leq4\}$
解析：$\because$命题$\forall x\in \mathbf{R},x^{2}-4x + a\neq0$为假命题，$\therefore\exists x\in \mathbf{R},x^{2}-4x + a = 0$有实数根，则$\Delta = (-4)^{2}-4a\geq0$，解得$a\leq4$.