《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

3. 已知$ p $，$ q $都是$ r $的充分条件，$ s $是$ r $的必要条件，$ q $是$ s $的必要条件。那么：
(1) $ s $是$ q $的什么条件？
(2) $ r $是$ q $的什么条件？
(3) $ p $是$ q $的什么条件？

答案： 跟踪训练 3.解：将$p,q,r,s$的关系作图表示,
如图所示 $p\Rightarrow r\Leftarrow q$
(1)因为$q\Rightarrow r\Rightarrow s,s\Rightarrow q$,所以$s$是$q$的充要条件.
(2)因为$r\Rightarrow s\Rightarrow q,q\Rightarrow r$,所以$r$是$q$的充要条件.
(3)因为$p\Rightarrow r\Rightarrow s\Rightarrow q$,所以$p$是$q$的充分条件.

[例4]
求证方程$ ax^{2}+2x + 1 = 0 $有且只有一个负数根的充要条件为$ a\leqslant 0 $或$ a = 1 $。
[分析]
利用定义及一元二(一)次方程的性质证明必要性，将$ a $的值代入方程证明充分性。

答案： [例4] [证明] ①充分性：
当$a = 0$时,方程变为$2x + 1 = 0$,其根为$x = -\frac{1}{2}$,方程只有一个负根;
当$a = 1$时,方程$x^{2}+2x + 1 = 0$.其根为$x = -1$,方程只有一个负根;
当$a\lt0$时,$\Delta = 4(1 - a)\gt0$,方程有两个不相等的根,且$\frac{1}{a}\lt0$,方程有一正一负根;
所以方程$ax^{2}+2x + 1 = 0$有且只有一个负数根.
②必要性：
若方程$ax^{2}+2x + 1 = 0$有且仅有一个负根;
当$a = 0$时,适合条件;
当$a\neq0$时,方程$ax^{2}+2x + 1 = 0$有实根,
则$\Delta = 4(1 - a)\geq0,\therefore a\leq1$,
当$a = 1$时,方程有一个负根$x = -1$,
当$a\lt1$时,若方程有且仅有一负根,
则$\begin{cases}a\lt1,\frac{1}{a}\lt0,\end{cases}$
所以$a\lt0$,
所以$a\leq0$或$a = 1$.
综上,方程$ax^{2}+2x + 1 = 0$有且仅有一负根的充要条件为$a\leq0$或$a = 1$.

4. 求证：$ \triangle ABC $是等边三角形的充要条件是$ a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab + ac + bc $。（这里$ a $，$ b $，$ c $是$ \triangle ABC $的三边边长）

答案： 跟踪训练 4.证明：必要性：
因为$\triangle ABC$是等边三角形,所以$a = b = c$,
所以$ab + ac + bc = a^{2}+b^{2}+c^{2}$成立;
充分性：
由$a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab + ac + bc$两边同时乘2得,$2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}=2ab + 2ac + 2bc$,即$(a - b)^{2}+(b - c)^{2}+(c - a)^{2}=0$,所以$a = b = c$,
所以$\triangle ABC$是等边三角形,所以充分性成立.
综上,$\triangle ABC$是等边三角形的充要条件是$a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab + ac + bc$.