《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

2. 三角函数
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：
正弦函数 $y = \sin x, x \in \mathbf{R}$；
余弦函数 $y = \cos x, x \in \mathbf{R}$；
正切函数 $y = \tan x, x \in \{ x \mid x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi (k \in \mathbf{Z}) \}$

答案： 2.正弦函数　余弦函数　三角函数

[例1] 角 $\alpha$ 终边与单位圆相交于点 $M(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$，则 $\cos \alpha + \sin \alpha$ 的值为$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$.
[分析] 利用三角函数的定义.

答案： [例1]　[答案]　$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
[解析]　由三角函数的定义得$\sin\alpha=\frac{1}{2}$，$\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$\cos\alpha+\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$。

1. 在平面直角坐标系中，以 $x$ 轴的非负半轴为角的始边，如果角 $\alpha, \beta$ 的终边分别与单位圆交于点 $(\frac{12}{13}, \frac{5}{13})$ 和 $( - \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$，那么 $\sin \alpha \cos \beta =$ (B)

A.$- \frac{36}{65}$
B.$- \frac{3}{13}$
C.$\frac{4}{13}$
D.$\frac{48}{65}$

答案： 跟踪训练　1.B　由三角函数的定义知$\sin\alpha=\frac{5}{13}$，$\cos\beta=-\frac{3}{5}$，所以$\sin\alpha\cos\beta=\frac{5}{13}×(-\frac{3}{5})=-\frac{3}{13}$。

2. 利用定义求 $\frac{5\pi}{6}$ 的正弦、余弦和正切值.

答案：
2.解:如图所示，$\frac{5\pi}{6}$角的终边与单位圆的交点为P，过点P作PB⊥x轴于点B。

在Rt△OPB中，|OP|=1，∠POB=$\frac{\pi}{6}$，则|PB|=$\frac{1}{2}$，|OB|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则P(-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$)，所以$\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}$，$\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$。

设 $\alpha$ 是一个任意角，它的终边上有任意一点 $P(x, y)$(不与原点重合)，点 $P$ 到原点的距离是 $r$ ($r =$ $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$).
那么，$\sin \alpha =$ $\frac{y}{r}$，$\cos \alpha =$ $\frac{x}{r}$，$\tan \alpha =$ $\frac{y}{x}$ ($x \neq 0$).

答案： 知识点2　$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ $\frac{y}{r}$ $\frac{x}{r}$ $\frac{y}{x}$

[例2] (多选)若角 $\alpha$ 的终边经过点 $P(x, -3)$ 且 $\sin \alpha = - \frac{3}{10} \sqrt{10}$，则 $x$ 的值为 ( )
A.$-\sqrt{3}$
B.$-1$
C.$1$
D.$\sqrt{3}$
[分析] 利用三角函数定义的推广求解.
［变条件］ 在本例中，将“$\sin \alpha = - \frac{3}{10} \sqrt{10}$”改为“$\cos \alpha = - \frac{\sqrt{10}}{10}$”，求 $x$ 的值.

答案： [例2]　[答案]　BC
[解析]　|OP|=$\sqrt{x^{2}+9}$，$\because\sin\alpha=\frac{y}{|OP|}=\frac{-3}{\sqrt{x^{2}+9}}=-\frac{3}{10}\sqrt{10}$，解得$x^{2}=1$，$\therefore x=\pm1$。
[变条件]　解:|OP|=$\sqrt{x^{2}+9}$，$\therefore\cos\alpha=\frac{x}{|OP|}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$，解得$x^{2}=1$，又$x＜0$，$\therefore x=-1$。

3. 已知角 $\theta$ 的终边过点 $(1, -2)$，则 $\sin \theta \cos \theta =$ (A)

A.$- \frac{2}{5}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$- \frac{2}{3}$
D.$\frac{2}{3}$

答案： 跟踪训练　3.A　因为角$\theta$的终边过点(1，-2)，所以$x=1$，$y=-2$，$r=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$，所以$\cos\theta=\frac{x}{r}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\sin\theta=\frac{y}{r}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$，即$\sin\theta\cos\theta=-\frac{2\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{5}}{5}=-\frac{2}{5}$。

4. 若角 $\alpha$ 的终边经过点 $P(-3a, 4a) (a \neq 0)$，求 $2 \sin \alpha + \cos \alpha$ 的值.

答案： 4.解:因为$r=\sqrt{(-3a)^{2}+(4a)^{2}}=5|a|$，
①若$a＞0$，则$r=5a$，角$\alpha$是第二象限角，$\sin\alpha=\frac{y}{r}=\frac{4a}{5a}=\frac{4}{5}$，$\cos\alpha=\frac{x}{r}=\frac{-3a}{5a}=-\frac{3}{5}$，所以$2\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{8}{5}-\frac{3}{5}=1$。
②若$a＜0$，则$r=-5a$，角$\alpha$是第四象限角，$\sin\alpha=\frac{4a}{-5a}=-\frac{4}{5}$，$\cos\alpha=\frac{-3a}{-5a}=\frac{3}{5}$，所以$2\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{8}{5}+\frac{3}{5}=-1$。