《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 精确度：近似数误差不超过某个数，就说它的精确度是多少，即设$x$为准确值，$x'$为$x$的一个近似值，若$|x' - x| ＜$$\epsilon$，则$x'$是精确度为$\epsilon$的$x$的一个近似值，精确度简称精度.

答案： 1.$\epsilon$ $x'$

2. 按四舍五入的原则得到准确值$x$的近似值$x'$，$x'$的最后一位有效数字在某一数位，就说精确到某一数位.

答案： 2.四舍五入

[例2] 某方程在区间$(2,4)$内有一实数根，若用二分法求方程根的近似值，要使所得的近似值的精确度达到$0.1$，则需要将区间等分 ( )

A.2次
B.3次
C.4次
D.5次

答案： [例2] [答案] D
[解析] 运用二分法求区间中点，等分1次，区间长度为1，等分2次，区间长度为0.5，等分3次，区间长度为0.25，等分4次，区间长度为0.125，等分5次，区间长度为0.0625＜0.1.

2. 用二分法求函数$f(x)=x^3 + x^2 - 2x - 2$的一个正零点的近似值(精确度为$0.1$)时，依次计算得到如下数据：$f(1)= -2$，$f(1.5)=0.625$，$f(1.25)\approx -0.984$，$f(1.375)\approx -0.260$，关于下一步的说法正确的是　　　　　　　　　　(C)

A.已经达到精确度的要求，可以取$1.4$作为近似值
B.已经达到精确度的要求，可以取$1.375$作为近似值
C.没有达到精确度的要求，应该接着计算$f(1.4375)$
D.没有达到精确度的要求，应该接着计算$f(1.3125)$

答案： 跟踪训练 2.C 由二分法知，方程$x^3+x^2-2x-2=0$的根在区间$(1.375,1.5)$内，没有达到精确度的要求，应该接着计算$f(1.4375)$.

给定精确度$\epsilon$，且二分法求函数$y = f(x)$零点$x_0$的近似值的一般步骤如下：
(1)确定零点$x_0$的初始区间$[a, b]$，验证$f(a)f(b)＜0$.
(2)求区间$(a, b)$的中点$c$.
(3)计算$f(c)$，并进一步确定零点所在的区间：
①若$f(c)=0$(此时$x_0 = c$)，则$c$就是函数的零点；
②若$f(a)f(c) ＜ 0$(此时$x_0 \in (a, c)$)，则令$b = c$；
③若$f(c)f(b)＜0$(此时$x_0 \in (c, b)$)，则令$a = c$.
(4)判断是否达到精确度$\epsilon$：若$|a - b| ＜ \epsilon$，则得到零点近似值$a$(或$b$)；否则重复步骤(2)～(4).由函数零点与相应方程解的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.

答案： 知识点3
(1)$f(a)f(b)＜0$
(3)①$f(c)=0$
③$f(c)f(b)＜0$

[例3] 用二分法求函数$f(x)=x^3 - 3$的零点的近似值(精确度为$0.02$).
[分析] 用二分法求函数零点的近似值，可以借助表格清晰地表示逐步缩小的零点所在区间，找到零点近似值.

答案： [例3] [解] 由于$f(0)=-3＜0,f(1)=-2＜0,f(2)=5＞0$，因此可取区间$(1,2)$作为计算的初始区间.
用二分法逐次计算，列表如下：
零点所在区间 中点的值 中点函数值（或近似值）
$(1,2)$ 1.5 0.375
$(1,1.5)$ 1.25 -1.047
$(1.25,1.5)$ 1.375 -0.400
$(1.375,1.5)$ 1.4375 -0.030
$(1.4375,1.5)$ 1.46875 0.168
$(1.4375,1.46875)$ 1.453125 0.068
$(1.4375,1.453125)$ 1.4453125 0.019
因为$|1.453125-1.4375|=0.015625＜0.02$，
所以函数$f(x)=x^3-3$的零点的近似值可取为1.4375.