《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

[例]（源于教材第58页第6题）已知关于$x$的一元二次不等式$(a^{2}-1)x^{2}-(a - 1)x + 1＞0$在$\mathbf{R}$上恒成立，求实数$a$的取值范围.
[分析] 构造二次函数$y=(a^{2}-1)x^{2}-(a - 1)x + 1$，其图象都在$x$轴上方.
[变条件] 若将本例的“一元二次不等式”的条件去掉，求实数$a$的取值范围.

答案： [例][解]由条件知，$a^{2}-1\neq0$，
即$a\neq\pm1$时，
可得$\begin{cases}a^{2}-1＞0,\\\Delta=(a-1)^{2}-4(a^{2}-1)＜0,\end{cases}$
即$\begin{cases}a＜-1 或a＞1,\\3a^{2}+2a-5＞0,\end{cases}(\*)$
解$3a^{2}+2a-5＞0$得$a＜-\frac{5}{3}$或$a＞1$，
则得不等式组$(\*)$的解集是$\begin{cases}a\\a＜-\frac{5}{3}\\ 或a＞1\end{cases}$
所以，实数$a$的取值范围是$\begin{cases}a\\a＜-\frac{5}{3}\\ 或a＞1\end{cases}$
[变条件]解：分$a^{2}-1=0$和$a^{2}-1\neq0$两种
情况进行研究：
(1)当$a^{2}-1=0$，即$a=\pm1$时，
若$a=1$，不等式化为$1＞0$恒成立，不等式
解集为$\rm R$，符合题意.
若$a=-1$，不等式化为$2x+1＞0$，不等式解
集为$\begin{cases}x\vert x＞-\frac{1}{2}\end{cases}$，不符合题意.
(2)当$a^{2}-1\neq0$时，解法同本例.
综上可得，实数$a$的取值范围是
$\begin{cases}a\\a＜-\frac{5}{3}\\ 或a\geqslant1\end{cases}$

若对任意实数$x$，关于$x$的不等式$(a^{2}-1)x^{2}-(a - 1)x - 1＜0$在$\mathbf{R}$上恒成立，求实数$a$的取值范围.

答案： 跟踪训练解：①若$a^{2}-1=0$，则$a=\pm1$，
当$a=1$时，原不等式即为$-1＜0$，解集
为$\rm R$.
当$a=-1$时，原不等式即为$2x-1＜0$，解
集为$\begin{cases}x\vert x＜\frac{1}{2}\end{cases}$，与题意不符.
②若$a^{2}-1\neq0$，即$a\neq\pm1$时，
$\begin{cases}\Delta=(a-1)^{2}+4(a^{2}-1)＜0,\\a^{2}-1＜0,\end{cases}$不等式解
集为$\rm R$，
解得$-\frac{3}{5}＜a＜1$.
综上，实数$a$的取值范围是$\begin{cases}a\vert-\frac{3}{5}＜a\leqslant1\end{cases}$