《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

2. 已知函数$ f(x) = x + \frac{4}{x} $，$ x \in [1,2] $。
(1)判断函数$ f(x) $的单调性，并证明；
(2)求函数$ f(x) $的最大值和最小值。

答案： 跟踪训练 2.解:
(1)f(x)在区间[1,2]上是减函数.
证明如下:
任取x₁,x₂∈[1,2]，且x₁＜x₂，
则f(x₁) - f(x₂)=x₁ + $\frac{4}{x₁}$ - x₂ - $\frac{4}{x₂}$
=x₁ - x₂ + $\frac{4(x₂ - x₁)}{x₁x₂}$
=(x₁ - x₂)$\frac{x₁x₂ - 4}{x₁x₂}$
= $\frac{(x₁ - x₂)(x₁x₂ - 4)}{x₁x₂}$
∵1≤x₁＜x₂≤2，
∴x₁ - x₂＜0，x₁x₂ - 4＜0，x₁x₂＞0，
∴f(x₁)＞f(x₂)，
∴f(x)在区间[1,2]上是减函数.
(2)由
(1)知，f(x)在区间[1,2]上是减函数，
∴当x = 2时，f(x)取得最小值4；当x = 1时，f(x)取得最大值5.

[例3] 求函数$ f(x) = x^2 - 2x + 2 $在区间$ [t, t + 1] $上的最小值。
[分析] 根据二次函数图象的对称轴和区间的位置关系进行分类讨论。

答案：
[例3] [解] f(x)=x² - 2x + 2=(x - 1)² + 1，x∈[t,t + 1]，t∈R，对称轴为直线x = 1.

当t + 1＜1，即t＜0时，函数图象如图1所示，函数f(x)在区间[t,t + 1]上为减函数，所以最小值为f(t + 1)=t² + 1；
当t≤1≤t + 1，即0≤t≤1时，函数图象如图2所示，最小值为f
(1)=1；
当t＞1时，函数图象如图3所示，函数f(x)在区间[t,t + 1]上为增函数，所以最小值为f(t)=t² - 2t + 2.
综上可得，f(x)min = $\begin{cases}t² + 1,t ＜ 0\\1,0\leq t\leq1\\t² - 2t + 2,t ＞ 1\end{cases}$