《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

[例3] 已知角 $\alpha$ 终边落在直线 $y = \frac{3}{4} x$ 上，则 $\frac{\sin \alpha + 1}{\cos \alpha} =$ 2或$-\frac{1}{2}$.
[分析] 当角的终边落在直线上时，将直线以原点为端点分为两条射线，分别在两条射线上取点求值.

答案： [例3]　[答案]　2或$-\frac{1}{2}$
[解析]　当角$\alpha$终边在第一象限时，在角$\alpha$终边上取一点(4，3)，则$r=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$，所以$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，$\cos\alpha=\frac{4}{5}$，则$\frac{\sin\alpha+1}{\cos\alpha}=\frac{\frac{3}{5}+1}{\frac{4}{5}}=2$；
当角$\alpha$终边落在第三象限时，在角$\alpha$终边上任取一点(-4，-3)，则$r=\sqrt{(-4)^{2}+(-3)^{2}}=5$，所以$\sin\alpha=-\frac{3}{5}$，$\cos\alpha=-\frac{4}{5}$，则$\frac{\sin\alpha+1}{\cos\alpha}=\frac{-\frac{3}{5}+1}{-\frac{4}{5}}=-\frac{1}{2}$。
综上，$\frac{\sin\alpha+1}{\cos\alpha}$为2或$-\frac{1}{2}$。

5. 已知角 $\alpha$ 的终边在直线 $y = -3x$ 上，求 $10 \sin \alpha + \frac{3}{\cos \alpha}$ 的值.

答案： 跟踪训练　5.解:由题意知，$\cos\alpha\neq0$。设角$\alpha$的终边上任一点为$P(k,-3k)(k\neq0)$，则$x=k$，$y=-3k$，$r=\sqrt{k^{2}+(-3k)^{2}}=\sqrt{10}|k|$。
当$k＞0$时，$r=\sqrt{10}k$，$\alpha$是第四象限角，$\sin\alpha=\frac{y}{r}=\frac{-3k}{\sqrt{10}k}=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$，$\frac{1}{\cos\alpha}=\frac{r}{x}=\frac{\sqrt{10}k}{k}=\sqrt{10}$，所以$10\sin\alpha+\frac{3}{\cos\alpha}=10×(-\frac{3\sqrt{10}}{10})+3\sqrt{10}=-3\sqrt{10}+3\sqrt{10}=0$；
当$k＜0$时，$r=-\sqrt{10}k$，$\alpha$是第二象限角，$\sin\alpha=\frac{y}{r}=\frac{-3k}{-\sqrt{10}k}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，$\frac{1}{\cos\alpha}=\frac{r}{x}=\frac{-\sqrt{10}k}{k}=-\sqrt{10}$，所以$10\sin\alpha+\frac{3}{\cos\alpha}=10×\frac{3\sqrt{10}}{10}+3×(-\sqrt{10})=3\sqrt{10}-3\sqrt{10}=0$。
综上所述，$10\sin\alpha+\frac{3}{\cos\alpha}=0$。

1. 点 $A(x, y)$ 是 $60°$ 角的终边与单位圆的交点，则 $\frac{y}{x}$ 的值为 (A)

A.$\sqrt{3}$
B.$- \sqrt{3}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$- \frac{\sqrt{3}}{3}$

答案： 课堂达标·素养提升
1.A　因为$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$，所以$\frac{y}{x}=\sqrt{3}$。

2. 角 $\alpha$ 的终边经过点 $(2, -1)$，则 $2 \sin \alpha + 3 \cos \alpha$ 的值为 (D)

A.$- \frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
C.$- \frac{4 \sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

答案： 2.D　由题意$r=\sqrt{5}$，$\therefore\sin\alpha=\frac{-1}{\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\therefore2\sin\alpha+3\cos\alpha=-\frac{2\sqrt{5}}{5}+\frac{6\sqrt{5}}{5}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$。

3. 已知角 $\alpha$ 的终边经过点 $P(x, -6)$，且 $\tan \alpha = - \frac{3}{5}$，则 $x$ 的值为10.

答案： 3.答案:10
解析:由已知，得$\tan\alpha=\frac{y}{x}=-\frac{3}{5}$，即$\frac{-6}{x}=-\frac{3}{5}$，解得$x=10$。

4. 在平面直角坐标系中，角 $\alpha$ 的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边过点 $P(- \sqrt{3}, -1)$，则 $\tan \alpha =$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$；$\cos \alpha - \sin \alpha =$ $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$.

答案： 4.答案:$\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$
解析:$\because$角$\alpha$终边过点$P(-\sqrt{3},-1)$，$\therefore|OP|=2$（$O$为坐标原点），$\therefore\tan\alpha=\frac{-1}{-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sin\alpha=-\frac{1}{2}$，$\cos\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\therefore\cos\alpha-\sin\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}-(-\frac{1}{2})=\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$。