《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

求复合函数的单调性要抓住两个要点
(1)单调区间必须是定义域的子集，任何一个端点都不能超出定义域.
(2)若$a＞1$，则$y = \log_{a}f(x)$的单调性与$y = f(x)$的单调性相同；若$0＜a＜1$，则$y = \log_{a}f(x)$的单调性与$y = f(x)$的单调性相反.
另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域.

答案：
(1)子集
(2)相同 相反

[例3] (1)求函数$f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x^{2} - 2x - 3)$的单调区间；
(2)讨论函数$f(x) = (\log_{\frac{1}{2}}x)^{2} - 2\log_{\frac{1}{2}}x + 2$的单调性.
[分析] 根据复合函数单调性，“同增异减”求解，注意对数的真数大于$0$.

答案： [例3] [解]
(1)设t=x²-2x-3＞0,得x＞3或x＜-1,由于t=(x-1)²-4在区间(3,+∞)上单调递增,在区间(-∞,-1)上单调递减,又y=log₁/₂ t在定义域内单调递减,因而函数f(x)=log₁/₂(x²-2x-3)的单调递增区间为(-∞,-1),单调递减区间为(3,+∞).
(2)函数f(x)=(log₁/₂ x)²-2log₁/₂ x+2=(log₁/₂ x-1)²+1.
设t=log₁/₂ x∈R,因而y=(t-1)²+1,当t∈(-∞,1)时,函数y=(t-1)²+1单调递减,当t∈(1,+∞)时,函数y=(t-1)²+1单调递增,而t=log₁/₂ x在定义域内单调递减,则当x∈(0,1/2)时,f(x)单调递减,当x∈(1/2,+∞)时,f(x)单调递增.

3. (1)函数$f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x^{2} - 2x)$的单调递增区间为 (C)
A. $(-\infty,1)$
B. $(2, +\infty)$
C. $(-\infty,0)$
D. $(1, +\infty)$
(2)已知函数$f(x) = \log_{3}(1 - ax)$. 若$f(x)$在$(-\infty，2]$上为减函数，则实数$a$的取值范围为 (B)
A. $(0，+\infty)$
B. $(0，\frac{1}{2})$
C. $(1，2)$
D. $(-\infty，0)$

答案： 跟踪训练3.答案:
(1)C
(2)B
解析:
(1)解不等式x²-2x＞0,可得x＜0或x＞2,函数y=f(x)的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞).
内层函数u=x²-2x在区间(-∞,0)上为减函数,在区间(2,+∞)上为增函数,
外层函数y=log₁/₂ u在(0,+∞)上为减函数.
由复合函数单调性“同增异减”可知,函数f(x)=log₁/₂(x²-2x)的单调递增区间为(-∞,0).
(2)函数f(x)=log3(1-ax)的内层函数为u=1-ax,外层函数为y=log3u.
函数f(x)=log3(1-ax)在(-∞,2]上为减函数,且外层函数y=log3u在(0,+∞)上为增函数,
则内层函数u=1-ax在(-∞,2]上为减函数,
且u=1-ax＞0在(-∞,2]上恒成立,所以-a＜0,得a＞0,且umin=1-2a＞0,解得a＜1/2.因此,实数a的取值范围是(0,1/2).

1. 下列不等式成立的是(其中$a＞0，且a \neq 1$)(B)

A.$\log_{a}5.1 ＜ \log_{a}5.9$
B.$\log_{\frac{1}{2}}2.1 ＞ \log_{\frac{1}{2}}2.2$
C.$\log_{1.1}(a + 1) ＜ \log_{1.1}a$
D.$\log_{3}2.9 ＜ \log_{0.5}2.2$

答案： 1.B 选项A,因为a和1大小的关系不确定,无法确定函数的单调性,所以不成立;
选项B,因为以1/2为底的对数函数是减函数,所以成立;
选项C,因为以1.1为底的对数函数是增函数,所以不成立;
选项D,log32.9＞0,log0.52.2＜0,所以不成立.

2. 如图，若$C_1$，$C_2$分别为函数$y = \log_{a}x$和$y = \log_{b}x$的图象，则 (B)


A.$0 ＜ a ＜ b ＜ 1$
B.$0 ＜ b ＜ a ＜ 1$
C.$a ＞ b ＞ 1$
D.$b ＞ a ＞ 1$

答案： 2.B 根据C₁,C₂分别为函数y=logₐx和y=logb x的图象,可得0＜b＜1,0＜a＜1,且b＜a.

3. 已知函数$f(x) = \log_{a}(x - m) + n$的图象恒过定点$(3，5)$，则$\lg m + \lg n =$1.

答案： 3.答案:1
解析:因为函数f(x)=logₐ(x-m)+n的图象恒过定点(3,5),
故3-m=1,且n=5,则m=2,n=5.
所以lgm+lgn=lg2+lg5=lg10=1.

4. 已知函数$f(x) = \ln x$，$g(x) = \lg x$，$h(x) = \log_{3}x$，直线$y = a (a ＜ 0)$与这三个函数的交点的横坐标分别是$x_1$，$x_2$，$x_3$，则$x_1$，$x_2$，$x_3$从小到大的关系是x₂＜x₃＜x₁.

答案：
4.答案:x₂＜x₃＜x₁
解析:分别作出三个函数的大致图象,如图所示.由图可知,x₂＜x₃＜x₁.