《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1.$f(x),g(x)$的对应值如下表：

则 (B)

A.$f(g(1)) = g(f(2))$
B.$f(g(1)) ＞ g(f(2))$
C.$f(g(4)) ＜ g(f(4))$
D.$f(g(4)) ＞ g(f(4))$

答案： 1.B$f(g(1))=f(3)=5$，
$g(f(2))=g(3)=-7$，
$\therefore f(g(1))＞g(f(2))$，A不正确，B正确；
$f(g(4))=f(2)=3$，
$g(f(4))=g(1)=3$，
$\therefore f(g(4))=g(f(4))$，C、D不正确。

2.如图所示是吴老师散步时所走的离家距离($y$)与行走时间($x$)之间的函数关系的图象，若用黑点表示吴老师家的位置，则吴老师散步行走的路线可能是 ( )

答案： 2.D　图象显示有一段时间吴老师离家距离是个定值，所以A，B，C三个选项均不符合，只有D选项符合题意。

3.$f(x)$是二次函数且$f(2x + 1) = x^{2}$,则$f( - 3) =$4.

答案： 3.答案:4
解析:由已知得$2x+1=-3$，$\therefore x=-2$，$\therefore f(-3)=(-2)²=4$。

4.已知函数$F(x) = f(x) + g(x)$,其中$f(x)$是$x$的正比例函数,$g(x)$是$x$的反比例函数,且$F(\frac{1}{3}) = 16,F(1) = 8$,则$F(x)$的解析式为$F(x)=3x+\frac{5}{x}$.

答案： 4.答案:$F(x)=3x+\frac{5}{x}$
解析:设$f(x)=kx(k≠0)$，$g(x)=\frac{m}{x}(m≠0)$，则$F(x)=kx+\frac{m}{x}$。由$F(\frac{1}{3})=16$，$F(1)=8$，得$\begin{cases}\frac{1}{3}k + 3m=16\\k + m=8\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = 3\\m = 5\end{cases}$
所以$F(x)=3x+\frac{5}{x}$。

[例]（源于教材第 $72$ 页第 $3$ 题）求下列函数的值域：
(1)$y = x + 1$,$x \in \{ 1,2,3,4,5\}$；
(2)$y = \frac{2x + 1}{x - 3}$；
(3)$y = \frac{x^{2} + 8}{x - 1}(x ＞ 1)$；
(4)$y = 2x - \sqrt{x - 1}$；
(5)$y = \frac{2x^{2} + 2x + 5}{x^{2} + x + 1}$.
[分析] 利用一次函数 $y = kx + b(k \neq 0)$值域为 $\mathbf{R}$；二次函数 $y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$，当 $a ＞ 0$ 时，值域为$\{ y \mid y \geqslant \frac{4ac - b^{2}}{4a}\}$；当 $a ＜ 0$ 时，值域为$\{ y \mid y \leqslant \frac{4ac - b^{2}}{4a}\}$；反比例函数 $y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$值域为$\{ y \mid y \neq 0\}$.

答案：
[解]　
(1)(观察法)
∵x∈{1,2,3,4,5}，将x的值分别代入函数解析式中求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}。
(2)(分离常数法)函数定义域为{x|x≠3}，y=$\frac{2x+1}{x−3}$=$\frac{2(x−3)+7}{x−3}$=2+$\frac{7}{x−3}$，显然$\frac{7}{x−3}$≠0，
∴y≠2。故函数的值域为(−∞,2)∪(2,+∞)。
(3)(基本不等式法)由x＞1，知x−1＞0，则y=$\frac{x²+8}{x−1}$=$\frac{(x−1)²+2(x−1)+9}{x−1}$=(x−1)+$\frac{9}{x−1}$+2≥2$\sqrt{(x−1)·\frac{9}{x−1}}$+2 = 8，当且仅当x−1=$\frac{9}{x−1}$，即x = 4时，上式取“=”。
∴y=$\frac{x²+8}{x−1}$(x＞1)的最小值为8。故函数y=$\frac{x²+8}{x−1}$的值域为[8,+∞)。
(4)(换元法)函数定义域为[1,+∞)，设t=$\sqrt{x−1}$，则x=t²+1，且t≥0，
∴y = 2(t²+1)−t=2t²−t + 2=2(t−$\frac{1}{4}$)²+$\frac{15}{8}$，由t≥0，再结合函数的图象(如图所示)，可得函数的值域为[$\frac{15}{8}$,+∞)。
　　　　　　
(5)函数定义域为R。
法一：(判别式法)由y=$\frac{2x²+2x + 5}{x²+x + 1}$，整理得(y−2)x²+(y−2)x+y−5 = 0。当y = 2时，方程无解；当y≠2时，Δ=(y−2)²−4(y−2)(y−5)≥0，
∴2＜y≤6。故所求函数的值域为(2,6]。
法二：(分离常数法)y=$\frac{2x²+2x + 5}{x²+x + 1}$=$\frac{2(x²+x + 1)+3}{x²+x + 1}$=2+$\frac{3}{x²+x + 1}$。
∵x²+x + 1∈[$\frac{3}{4}$,+∞)，
∴$\frac{3}{x²+x + 1}$∈(0,4]，
∴2+$\frac{3}{x²+x + 1}$∈(2,6]。故所求函数的值域为(2,6]。