《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

[例 4] 已知集合$A = \{x \mid ax^{2}-3x + 2 = 0\}$. 若集合 A 中只有一个元素，求实数$a$的值组成的集合.
[分析] 关于方程与集合的关系：用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的根.
[变条件] 在本例条件下，若 A 中含有二个元素，求$a$的取值范围.

答案： [例4][解]当集合$A$中只有一个元素时：
当$a=0$时，原方程可化为$-3x+2=0$，得$x=\frac{2}{3}$，符合题意；
当$a\neq0$时，方程$ax^{2}-3x+2=0$为一元二次方程，由题意得，$\Delta=9-8a=0$，得$a=\frac{9}{8}$，
所以当$a=0$或$a=\frac{9}{8}$时，集合$A$中只有一个元素。
故实数$a$的值组成的集合为$\{0,\frac{9}{8}\}$。
[变条件]解：当集合$A$中有两个元素时，由题意得，$\begin{cases}a\neq0,\\\Delta=9-8a＞0,\end{cases}$即$a＜\frac{9}{8}$且$a\neq0$时，方程有两个实根，所以若集合$A$中含有二个元素，实数$a$的组成的集合是$\{a\mid a＜\frac{9}{8}$，且$a\neq0\}$。

4.已知$A = \{x \mid x^{2}+px + q = x\}, B = \{x \mid (x - 1)^{2}+p(x - 1) + q = x + 3\}$，当$A = \{2\}$时，求集合 B.

答案： 跟踪训练4.解：因为$A=\{x\mid x^{2}+px+q=x\}=\{2\}$，
所以方程$x^{2}+px+q=x$有两个相等实根$x_1=x_2=2$，
由根与系数的关系得$\begin{cases}-(p-1)=2+2,\\q=2×2.\end{cases}$
所以$\begin{cases}p=-3,\\q=4.\end{cases}$
所以$B=\{x\mid(x-1)^{2}+p(x-1)+q=x+3\}=\{x\mid x^{2}-6x+5=0\}=\{1,5\}$。

1. 大于 1 且小于 10 的奇数构成的集合为 (B)

A.$\{1, 3, 5, 7, 9\}$
B.$\{3, 5, 7, 9\}$
C.$\{2, 4, 6, 8\}$
D.$\{2, 3, 5, 7\}$

答案： 1.B大于1且小于10的奇数有3,5,7,9。

2. (多选)下列说法中正确的是 (BC)

A.0 与$\{0\}$表示同一个集合
B.由 1,2,3 组成的集合可表示为$\{1, 2, 3\}$或$\{3, 2, 1\}$
C.方程$(x - 1)^{2}(x - 2) = 0$的所有解组成的集合可表示为$\{1, 2\}$
D.集合$\{x \mid 4 ＜ x ＜ 5\}$可以用列举法表示

答案： 2.BCA中“0”不能表示集合，而“{0}”可以表示集合，故A错误；根据集合中元素的无序性可知B正确；根据集合中元素的互异性可知C正确；D不能用列举法表示，原因是集合中有无数个元素，不能一一列举。

3. 若集合$A = \{x \mid mx^{2}+2x + 2 = 0\}$中有两个元素，则实数$m$的取值范围为$\{m\mid m＜\frac{1}{2}$，且$m\neq0\}$.

答案： 3.答案：$\{m\mid m＜\frac{1}{2}$，且$m\neq0\}$
解析：由题意，得$m\neq0$且$\Delta=2^{2}-4m×2＞0$，解得$m＜\frac{1}{2}$且$m\neq0$。

4. 用列举法表示集合$D = \{(x, y), x \in \mathbb{N}, y \in \mathbb{N} \mid y = -x^{2}+8\}$为$\{(0,8),(1,7),(2,4)\}$.

答案： 4.答案：$\{(0,8),(1,7),(2,4)\}$
解析：由已知得集合$D$为点集，$x\in N$，$y\in N$，
当$x=0$时，$y=8$；当$x=1$时，$y=7$；
当$x=2$时，$y=4$。
若$x\geq3$，则$y=8-x^{2}＜0$，不合题意。
所以集合$D=\{(0,8),(1,7),(2,4)\}$。