《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

[例 2]
已知集合 $ A = \{ y | y ＞ a^{2} + 1 $，或 $ y ＜ a \} $，$ B = \{ y | 2 \leq y \leq 4 \} $，若 $ A \cap B \neq \varnothing $，求实数 $ a $ 的取值范围。

答案：
[例2][解]因为$A=\{y|y＞a^2+1, 或y＜a\}$，$B=\{y|2\leqslant y\leqslant4\}$，我们不妨先考虑当$A\cap B=\varnothing$时$a$的取值范围，在数轴上表示集合$A$，$B$，如图所示.

由$\begin{cases}a\leqslant2,\\a^2+1\geqslant4,\\a\leqslant2,\end{cases}$
得$\begin{cases}a\leqslant2,\\a\geqslant\sqrt3 或a\leqslant-\sqrt3,\\a\leqslant2.\end{cases}$
故$a\leqslant-\sqrt3$或$\sqrt3\leqslant a\leqslant2$.
即$A\cap B=\varnothing$时，$a$的取值范围为$\{a|a\leqslant-\sqrt3, 或\sqrt3\leqslant a\leqslant2\}$，
故$A\cap B\neq\varnothing$时，$a$的取值范围为$\{a|a＞2, 或-\sqrt3＜a＜\sqrt3\}$.

3. 已知 $ A = \{ x | x^{2} - 2x - 8 = 0 \} $，$ B = \{ x | x^{2} + ax + a^{2} - 12 = 0 \} $。若 $ B \cup A \neq A $，求实数 $ a $ 的取值集合。

答案： 3. 解：若$B\cup A=A$，则$B\subseteq A$.
$\because A=\{x|x^2-2x-8=0\}=\{-2,4\}$，
$\therefore$集合$B$有以下三种情况：
①当$B=\varnothing$时，$\Delta=a^2-4(a^2-12)＜0$，
即$a^2＞16$，
$\therefore a＜-4$或$a＞4$；
②当$B$是单元素集时，$\Delta=a^2-4(a^2-12)=0$，
$\therefore a=-4$或$a=4$.
若$a=-4$，则$B=\{2\}\not\subseteq A$；若$a=4$，$B=\{-2\}\subseteq A$；
③当$B=\{-2,4\}$时，$\begin{cases}-a=-2+4,\\a^2-12=-2×4,\end{cases}$
$\therefore a=-2$.
综上可得，$B\cup A=A$时，$a$的取值集合为$\{a|a＜-4, 或a=-2, 或a\geqslant4\}$.
$\therefore B\cup A\neq A$的实数$a$的取值集合为$\{a|-4\leqslant a＜4, 且a\neq-2\}$.

由集合的补集求解参数问题，一般结合定义求解，注意分类及数轴的重要作用。

答案： 知识点3 分类 数轴

[例 3]
已知全集 $ U = \mathbf{R} $，集合 $ A = \{ x | x \leq - 2 $，或 $ x \geq 3 \} $，$ B = \{ x | 2m + 1 ＜ x ＜ m + 7 \} $，若 $ (\complement_{U}A) \cap B = B $，求实数 $ m $ 的取值范围。
[分析] 求出 $ \complement_{U}A $，再由 $ (\complement_{U}A) \cap B = B $ 知 $ B \subseteq (\complement_{U}A) $。
变条件
若把本例中的条件“$ (\complement_{U}A) \cap B = B $”改为“$ (\complement_{U}A) \cup B = B $”，则实数 $ m $ 的取值范围为$\{m|-4\leqslant m\leqslant-\frac{3}{2}\}$。

答案： [例3][解]因为$A=\{x|x\leqslant-2, 或x\geqslant3\}$，
所以$\complement_U A=\{x|-2＜x＜3\}$，
因为$(\complement_U A)\cap B=B$，所以$B\subseteq(\complement_U A)$.
当$B=\varnothing$时，即$2m+1\geqslant m+7$，
所以$m\geqslant6$，满足$(\complement_U A)\cap B=B$.
当$B\neq\varnothing$时，则$\begin{cases}2m+1＜m+7,\\2m+1\geqslant-2,\\m+7\leqslant3,\end{cases}$无解.
故实数$m$的取值范围是$\{m|m\geqslant6\}$.
[变条件]答案：$\{m|-4\leqslant m\leqslant-\frac{3}{2}\}$
解析：因为$(\complement_U A)\cup B=B$，所以$(\complement_U A)\subseteq B$，
$\begin{cases}2m+1＜m+7,\\2m+1\leqslant-2,\\m+7\geqslant3,\end{cases}$解得$-4\leqslant m\leqslant-\frac{3}{2}$，
故实数$m$的取值范围为$\{m|-4\leqslant m\leqslant-\frac{3}{2}\}$.

4. 已知全集 $ U = \{ - 1,1,3 \} $，集合 $ A = \{ a + 2,a^{2} + 2 \} $，且 $ \complement_{U}A = \{ - 1 \} $，则 $ a $ 的值是$-1$。

答案： 跟踪训练4. 答案：$-1$
解析：由已知$A=\{1,3\}$，
又$\because a^2+2＞1$，$\therefore a^2+2=3$，且$a+2=1$，
$\therefore a=-1$.