《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

幂函数的解析式为$y$$f(x)=x^{\alpha}$$= x^\alpha.$

答案： $f(x)=x^{\alpha}$

[例3] 某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.
(1)分别写出两类产品的收益与投资额$x$的函数关系式;
(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益?最大收益是多少万元?
[分析] 将已知条件转化为数学语言,建立数学模型,再用待定系数法求解.

答案： [解]
(1)设稳健型与风险型产品的收益与投资额$x$的函数关系式分别为$f(x)$ $=k_1x(x\geq0,k_1\neq0)$，$g(x)=k_2\sqrt{x}(x\geq0,k_2\neq0)$，结合已知得$f(1)=\frac{1}{8}=k_1,g(1)=\frac{1}{2}=k_2$，所以$f(x)=\frac{1}{8}x(x\geq0),g(x)=\frac{1}{2}\sqrt{x}(x\geq 0)$。
(2)设投资稳健型产品$x$万元，则投资风险型产品$(20 - x)$万元，依题意，获得的收益为$y=f(x)+g(20 - x)=\frac{x}{8}+\frac{1}{2}\sqrt{20 - x}(0\leq x\leq20)$，令$t=\sqrt{20 - x}(0\leq t\leq2\sqrt{5})$，则$x=20 - t^2$，所以$y=\frac{20 - t^2}{8}+\frac{1}{2}t=-\frac{1}{8}(t - 2)^2+3$，所以当$t=2$，即$x=16$时，$y$取得最大，$y_{ max}=3$。故当投资稳健型产品$16$万元，风险型产品$4$万元时，可使投资获得最大收益，最大收益是$3$万元.

3. 在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量$R$与管道半径$r$的四次方成正比.
(1)写出函数解析式;
(2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为$400\ \mathrm{cm^3/s}$,求该气体通过半径为$r$ cm的管道时,其流量$R$的函数解析式;
(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm,计算该气体的流量(精确到$1\ \mathrm{cm^3/s}$).

答案： 跟踪训练3.解：
(1)由题意，得$R=kr^4$（$k$大于$0$的常数）。
(2)由$r = 3 cm,R = 400 cm^3/s$，得$k·3^4=$ $400$，所以$k=\frac{400}{81}$，所以函数解析式为$R=\frac{400}{81}· r^4$。
(3)因为$R=\frac{400}{81}· r^4$，所以当$r = 5 cm$时，$R=\frac{400}{81}×5^4\approx$ $3086( cm^3/s)$。所以气体通过的管道半径为$5 cm$时，该气体的流量为$3086 cm^3/s$。

一般地,如果自变量在不同取值范围内时,函数由不同的解析式给出,这种函数叫做分段函数.分段函数

答案： 分段函数

[例4] 提高某隧道的车辆通行能力可改善交通状况.在一般情况下,该隧道的车流速度$v$(单位:千米/时)是车流密度$x$(单位:辆/千米)的函数.当车流密度达到180辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过30辆/千米时,车流速度为50千米/时.研究表明:当$30 ＜ x\leqslant180$时,车流速度$v$是车流密度$x$的一次函数.
(1)当$0\leqslant x\leqslant180$时,求函数$v(x)$的关系式;
(2)当车流密度$x$为多大时,车流量(单位时间内通过隧道某观测点的车辆数,单位:辆/时)$f(x)=x· v(x)$可以达到最大?并求出最大值.
[分析] 根据条件分别求出$0\leqslant x\leqslant30$,$30 ＜ x\leqslant180$的解析式,即可求出函数$v(x)$的关系式.

答案： [解]
(1)由题意，当$0\leq x\leq30$时，$v$ $(x)=50$；当$30＜x\leq180$时，设$v(x)=ax + b(a\neq0)$。由已知得$\begin{cases}180a + b=0,\\30a + b=50,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{3},\\b=60.\end{cases}$故函数$v(x)$的关系式为$v(x)=$ $\begin{cases}50,0\leq x\leq30,\frac{1}{3}(180 - x),30＜x\leq180.\end{cases}$
(2)依题意并结合
(1)可得 $f(x)=\begin{cases}50x,0\leq x\leq30,\frac{1}{3}x(180 - x),30＜x\leq180.\end{cases}$当$0\leq x\leq30$时，$f(x)$为增函数，故当$x = 30$时，$f(x)$在区间$[0,30]$上取得最大值$50×30 = 1500$；当$30＜x\leq180$时，$f(x)=\frac{1}{3}x(180 - x)=$ $-\frac{1}{3}(x - 90)^2+2700$，所以当$x = 90$时，$f(x)$在区间$(30,180]$上取得最大值$2700$。综上，当$x = 90$时，$f(x)$在区间$[0,180]$上取得最大值$2700$。即当车流密度为$90$辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值为$2700$辆/时.