《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

函数$ y=f(g(x)) $可分离为$ y=f(t) $和$ t=g(x) $两层函数,单调性关系如下表:

可以简记为“同增异减”.

答案： 增 减 减 增

[例3] 函数$ f(x)=\sqrt{-x^2+2x+3} $的单调递增区间为$[-1,1]$.

答案： [答案]$[-1,1]$
[解析]由$-x^{2}+2x+3\geqslant0$,得$-1\leqslant x$
$\leqslant3$,
所以函数$f(x)$的定义域为$[-1,3]$.
函数$f(x)=\sqrt{-x^{2}+2x+3}$可看作由$y=\sqrt{t},t=-x^{2}+2x+3$复合而成的,
因为$y=\sqrt{t}$在区间$[0,+\infty)$上单调递增,
所以要求函数$f(x)=\sqrt{-x^{2}+2x+3}$的单
调递增区间,只需求$t=-x^{2}+2x+3$的单
调递增区间即可.

4.(多选)下列有关函数单调性的说法,正确的是(ABD)

A.若$ f(x) $为增函数,$ g(x) $为增函数,则$ f(x)+g(x) $为增函数
B.若$ f(x) $为减函数,$ g(x) $为减函数,则$ f(x)+g(x) $为减函数
C.若$ f(x) $为增函数,$ g(x) $为减函数,则$ f(x)+g(x) $为增函数
D.若$ f(x) $为减函数,$ g(x) $为增函数,则$ f(x)-g(x) $为减函数

答案： 答案:ABD若$f(x)$为增函数,$g(x)$
为减函数,则$f(x)+g(x)$的减减性不确定.
例如:$f(x)=x+2$为$\mathbf{R}$上的增函数,
当$g(x)=-\frac{1}{2}x$时,$f(x)+g(x)=\frac{x}{2}+2$
为增函数;当$g(x)=-3x$时,$f(x)+g(x)=$
$-2x+2$在$\mathbf{R}$上为减函数.所以不能确定$f(x)+g(x)$的单调性.

抽象函数是指没有给出的函数.
判断抽象函数单调性的方法:
(1)凑:凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;
(2)赋值:给变量赋值要根据条件与结论的关系,有时可能要进行多次尝试.

答案： 具体的函数解析式

[例4] 设$ f(x) $是定义在$ \mathbf{R} $上的函数,对$ m,n\in \mathbf{R} $,恒有$ f(m+n)=f(m)· f(n)(f(m)\neq 0,f(n)\neq 0) $,且当$ x＞0 $时,$ 0＜f(x)＜1 $.求证:
(1)$ f(0)=1 $;
(2)当$ x\in \mathbf{R} $时,恒有$ f(x)＞0 $;
(3)$ f(x) $在$ \mathbf{R} $上是减函数.
[分析] (1)可通过赋值求$ f(0) $.(2)可通过$ f(0)=f[x+(-x)]=f(x)· f(-x) $证明$ f(x)＞0 $.(3)可利用定义证明函数$ f(x) $的单调性.

答案： [证明]
(1)根据题意,令$m=0$,可
得$f(0+n)=f(0)· f(n)$.
$\because f(n)\neq0,\therefore f(0)=1$.
(2)由题意知,当$x＞0$时,$0＜f(x)＜1$,
当$x=0$时,$f(0)=1＞0$,当$x＜0$时,$-x$
$＞0$,
$\therefore0＜f(-x)＜1$.
$\because f[x+(-x)]=f(x)· f(-x),\therefore f(x)$
$· f(-x)=1,\therefore f(x)=\frac{1}{f(-x)}＞0$.
故$x\in\mathbf{R}$时,恒有$f(x)＞0$.
(3)任取$x_1,x_2\in\mathbf{R}$,且$x_1＜x_2$,则$f(x_2)=$
$f[x_1+(x_2-x_1)],\therefore f(x_2)-f(x_1)=$
$f[x_1+(x_2-x_1)]-f(x_1)$
$=f(x_1)· f(x_2-x_1)-f(x_1)=$
$f(x_1)[f(x_2-x_1)-1]$.
由
(2)知$f(x_1)＞0$,又$x_2-x_1＞0$,
$\therefore0＜f(x_2-x_1)＜1$,故$f(x_2)-f(x_1)$
$＜0$,
$\therefore f(x)$在$\mathbf{R}$上是减函数.