《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 函数$y=-x^{2}+x+2$的零点是(A)

A.$-1,2$
B.$x=-1$或$x=2$
C.$1,-2$
D.$x=1$或$x=-2$

答案： 课堂达标·素养提升
1.A 方程$-x^{2}+x + 2=0$的根为$x=-1$或$x = 2$，所以函数$y=-x^{2}+x + 2$的零点为$-1,2$.

2. 一元二次不等式$2x^{2}-x-1＜0$的解集是(B)

A.$\{x|x＜-\frac{1}{2}$，或$x＞1\}$
B.$\{x|-\frac{1}{2}＜x＜1\}$
C.$\{x|x＜-1$，或$x＞2\}$
D.$\{x|1＜x＜2\}$

答案： 2.B 不等式$2x^{2}-x - 1＜0$可化为$(2x + 1)(x - 1)＜0$，解得$-\frac{1}{2}＜x＜1$，
$\therefore$不等式的解集是$\{x\mid-\frac{1}{2}＜x＜1\}$.

3. 下列不等式：①$x^{2}＞0$；②$-x^{2}-x\leqslant5$；③$x^{3}+5x-6＞0$；④$ax^{2}＞2$；⑤$mx^{2}-5y＜0$；⑥$ax^{2}+bx+c＞0$. 其中是一元二次不等式的有①②.

答案： 3.①②

4. 关于$x$的不等式$(ax-1)(x-1)＜0(a＞1)$的解集为$\{x\mid\frac{1}{a}＜x＜1\}$.

答案： 4.答案：$\{x\mid\frac{1}{a}＜x＜1\}$
解析：$\because a＞1$，$\therefore0＜\frac{1}{a}＜1$，
$\therefore$原不等式的解集为$\{x\mid\frac{1}{a}＜x＜1\}$.

2.解法：等价转化法解分式不等式.
$\frac{f(x)}{g(x)}＞0\Leftrightarrow f(x)g(x)＞0$，$\frac{f(x)}{g(x)}＜0\Leftrightarrow$_______
$\frac{f(x)}{g(x)}\geq0\Leftrightarrow\begin{cases}f(x)g(x)\geq0,\\g(x)\neq0.\end{cases}$或$\begin{cases}f(x)=0,\\g(x)\neq0.\end{cases}$
$\frac{f(x)}{g(x)}\leq0\Leftrightarrow\begin{cases}f(x)· g(x)\leq0,\\g(x)\neq0\end{cases}$或$\begin{cases}f(x)=0,\\g(x)\neq0.\end{cases}$

答案： 2.$f(x) · g(x)＜0$

[例$1$] 解下列分式不等式：
(1)$\frac{2x - 1}{x}＞0$;
(2)$\frac{3x - 1}{2 - x}\geq1$.

答案： [例1] [解]
(1)$\frac {2x - 1}{x} ＞ 0$，等价于$x(2x - 1) ＞ 0$，解得$x ＜ 0$或$x ＞ \frac {1}{2}$，
所以不等式$\frac {2x - 1}{x} ＞ 0$的解集为$\{ x|x ＜ 0$，或$x ＞ \frac {1}{2}\}$。

(2)$\frac {3x - 1}{2 - x} \geqslant 1 \Leftrightarrow \frac {3x - 1}{2 - x} - 1 \geqslant 0 \Leftrightarrow \frac {4x - 3}{2 - x} \geqslant 0 \Leftrightarrow \frac {x - \frac {3}{4}}{x - 2} \leqslant 0$，解得$\frac {3}{4} \leqslant x ＜ 2$，
所以原不等式解集为$\{ x|\frac {3}{4} \leqslant x ＜ 2\}$。

1.解下列不等式：
(1)$\frac{x + 1}{x - 3}\geq0$;
(2)$\frac{5x + 1}{x + 1}＜3$.

答案： 跟踪训练 1.解：
(1)不等式$\frac {x + 1}{x - 3} \geqslant 0$可转化成不等式组$\begin{cases} (x + 1)(x - 3) \geqslant 0 \\ x \neq 3 \end{cases}$，
解得$x \leqslant - 1$或$x ＞ 3$。
即原不等式的解集为$\{ x|x \leqslant - 1$，或$x ＞ 3\}$。
(2)不等式$\frac {5x + 1}{x + 1} ＜ 3$可改写为$\frac {5x + 1}{x + 1} - 3 ＜ 0$，
即$\frac {2(x - 1)}{x + 1} ＜ 0$。
可将这个不等式转化成$2(x - 1)(x + 1) ＜ 0$，解得$- 1 ＜ x ＜ 1$。
所以原不等式的解集为$\{ x| - 1 ＜ x ＜ 1\}$。