《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

2. 求下列各式的值:(1)$ \sqrt[7]{(-2)^{7}} $;
(2)$ \sqrt{(\pi - 4)^{2}}+\sqrt[3]{(\pi - 4)^{3}} $;
(3)$ \sqrt[4]{(3a - 3)^{4}}(a\leqslant 1) $;
(4)$ \sqrt{5 + 2\sqrt{6}}-\sqrt{6 - 4\sqrt{2}}+\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} $.

答案： 跟踪训练2.解：
(1)$\sqrt[7]{(-2)^7}=-2$.
(2)$\sqrt{(\pi-4)^2}+\sqrt[3]{(\pi-4)^3}=\vert\pi-4\vert+\pi-4=4-\pi+\pi-4=0$.
(3)$\because a\leq1$,
$\therefore\sqrt[4]{(3a-3)^4}=\vert3a-3\vert=3\vert a-1\vert=3-3a$.
(4)原式$=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}-\sqrt{(2-\sqrt{2})^2}+\sqrt{(2-\sqrt{3})^2}$
$=\sqrt{3}+\sqrt{2}-(2-\sqrt{2})+2-\sqrt{3}=2\sqrt{2}$.

答案： $\sqrt[n]{a^m}=\begin{cases}\sqrt[n\to 指数]{a^m\to 被开方数},\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}},0 没有意义\end{cases}$

[例3] (1)$ \sqrt[3]{-\frac{8}{125}} $的值为$-\frac{2}{5}$.
(2)下列关系式中,根式与分数指数幂的互化正确的有③(填序号).
①$ -\sqrt{x}=(-x)^{\frac{1}{2}}(x＞0) $;
②$ \sqrt[6]{y^{2}}=y^{\frac{1}{3}}(y＜0) $;
③$ x^{-\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{\left( \frac{1}{x}\right)^{3}}(x＞0) $.
[分析] (1)把被开方数写成指数幂的形式;
(2)根式与分数指数幂的互化时观察根指数与被开方数的关系.

答案： [例3] [答案]
(1)$-\frac{2}{5}$
(2)③
[解析]
(1)$\sqrt[3]{-\frac{8}{125}}=\sqrt[3]{(-\frac{2}{5})^3}=-\frac{2}{5}$.
(2)对于①,$-\sqrt{x}=-x^{\frac{1}{2}}$,故①错误;对于
②,当$y＜0$时,$\sqrt{y^2}＞0,y^3＜0$,故②错误;
对于③,$x^{-\frac{1}{4}}=\frac{1}{\sqrt[4]{x}}=\sqrt[4]{\frac{1}{x^3}}(x＞0)$,
故③正确.

3. 根式$ a\sqrt{-a} $化成分数指数幂是$ -(-a)^{\frac{4}{3}}$.

答案： 跟踪训练 3.答案:$ -(-a)^{\frac{4}{3}}$
解析:因为$a\sqrt{-a}$有意义,所以$-a\geq0$,所以$a\leq0$,所以$a\sqrt{-a}=-\sqrt{(-a)^2(-a)}=-\sqrt{(-a)^3}=-(-a)^{\frac{3}{2}}$.

规定了分数指数幂的意义以后,幂$ a^{x} $中指数$ x $的取值范围就从整数拓展到有理数.
整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用,即对于任意有理数$ r,s $,均有下面的运算性质.
(1)$ a^{r}a^{s}=\boldsymbol{a^{r$+ s$+ s}}(a＞0,r,s\in \mathbf{Q}) $;
(2)$ (a^{r})^{s}=\boldsymbol{a^{rs}}(a＞0,r,s\in \mathbf{Q}) $;
(3)$ (ab)^{r}=\boldsymbol{a^{r}b^{r}}(a＞0,b＞0,r\in$$\mathbf{Q}$$\mathbf{Q}) $.

答案：
(1)$a^{r+s}$
(2)$a^{rs}$
(3)$a^{r}b^{r}$

[例4] 化简下列各式:
(1)$ (\sqrt{8})^{-\frac{2}{3}}× (\sqrt[3]{25})^{\frac{9}{4}}× \frac{1}{\sqrt{125}} $;
(2)$ \frac{\sqrt{a^{3}b^{2}\sqrt[3]{ab^{2}}}}{(a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{2}})^{4}a^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}(a＞0,b＞0) $;
(3)$ (\sqrt[3]{2}× \sqrt{3})^{6}-4\left( \frac{16}{49}\right)^{-\frac{1}{2}}-\sqrt[4]{2}× 8^{0.25}-(-2.015)^{0} $.
[分析] 分数指数幂运算关键是将根式化成分数指数幂的形式,分数指数幂化简的关键是同底数幂的运算.

答案： [例4] [解]
(1)$(\sqrt{8})^{-\frac{2}{3}}×(\sqrt[3]{25})^{\frac{1}{2}}×\frac{1}{\sqrt{125}}=2^{-\frac{2}{3}}×5^{\frac{1}{3}}×5^{-\frac{1}{2}}=2^{-1}×5^{0}=\frac{1}{2}$.
(2)$\frac{\sqrt{a^3b^2\sqrt[3]{ab^2}}}{(a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}})^4a^{-\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}}=\frac{(a^3b^2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}×4}a^{-\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{4}×4}b^{\frac{1}{3}}}$
$=\frac{a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{4}{3}}a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{4}{3}}}=a^{\frac{5}{3}+\frac{2}{3}-\frac{1}{3}}b^{\frac{4}{3}-\frac{4}{3}}=a^{\frac{6}{3}}=a^2$ 答案:$a$ $b^{-1}=\frac{a}{b}$.
(3)原式=$(2^{\frac{1}{4}}×3^{\frac{1}{3}})-4×(\frac{4}{7})^{2×(-\frac{1}{4})}-2^{\frac{1}{4}}×(2^3)^{\frac{1}{4}}-1=2^2×3^3-4×(\frac{4}{7})^{-1}-(2×2^3)^{\frac{1}{4}}-1=4×27-4×\frac{7}{4}-2^{4×\frac{1}{4}}-1=108-7-2-1=98$.