《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

已知 $x$，$y$ 都为正数，则(1)如果积 $xy$ 等于定值 $P$，那么当且仅当 $x = y$ 时，和 $x + y$ 有最小值$2\sqrt{P}$；(2)如果和 $x + y$ 等于定值 $S$，那么当且仅当 $x = y$ 时，积 $xy$ 有最大值$\frac{S^{2}}{4}$，简记为：积定和最小，和定积最大.

答案： 知识点3
(1)$2\sqrt{P}$
(2)$\frac{S^{2}}{4}$

[例 3](1)已知 $a ＞ 0$，$b ＞ 0$ 且 $ab = 36$，求 $a + b$ 的最小值；
(2)已知 $a ＞ 0$，$b ＞ 0$ 且 $a + b = 4$，求 $ab$ 的最大值.
[分析](1)利用基本不等式变形：$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，$a + b \geq 2\sqrt{ab}$ 求解.(2)利用基本不等式变形：$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，$ab \leq (\frac{a + b}{2})^2$ 求解.

答案： [例3] [解]
(1)因为$a＞0,b＞0$，所以$a+b \geqslant 2\sqrt{ab}=12$.
当且仅当$a=b=6$时等号成立，因此所求的最小值为12.
(2)因为$a＞0,b＞0$，所以$ab \leqslant (\frac{a+b}{2})^{2}=4$.
当且仅当$a=b=2$时等号成立，因此所求的最大值为4.

3.(1)已知 $a ＞ 0$，$b ＞ 0$ 且 $ab = 6$，则 $3a + 2b$ 的最小值为12；
(2)已知 $a ＞ 0$，$b ＞ 0$ 且 $2a + b = 4$，则 $ab$ 的最大值为2.

答案： 跟踪训练 3.答案：
(1)12
(2)2
解析：
(1)因为$a＞0,b＞0$，所以$3a+2b \geqslant 2\sqrt{3a · 2b}=2\sqrt{6ab}=12$.
当且仅当$3a=2b$，即$a=2,b=3$时等号成立.因此所求的最小值为12.
(2)因为$a＞0,b＞0$，所以$ab=\frac{2a · b}{2} \leqslant \frac{1}{2}(\frac{2a+b}{2})^{2}=2$.
当且仅当$2a=b=2$，即$a=1,b=2$时等号成立.因此所求的最大值为2.

已知 $a ＞ 0$，$b ＞ 0$，则 $a + b$_______$2\sqrt{ab}$，$\sqrt{ab}$_______$\frac{a + b}{2}$.

答案： $\geq$，$\leq$。

[例 4](1)(多选)下列条件中能使 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ 成立的是(ACD)
A. $ab ＞ 0$
B. $ab ＜ 0$
C. $a ＞ 0$，$b ＞ 0$
D. $a ＜ 0$，$b ＜ 0$
(2)已知 $a ＞ b ＞ c$，则 $\sqrt{(a - b)(b - c)}$ 与 $\frac{a - c}{2}$ 的大小关系是$\sqrt{(a-b)(b-c)} \leqslant \frac{a-c}{2}$.

答案： [例4] [答案]
(1)ACD
(2)$\sqrt{(a-b)(b-c)} \leqslant \frac{a-c}{2}$
[解析]
(1)要使$\frac{b}{a}+\frac{a}{b} \geqslant 2$，只要$\frac{b}{a}＞0$，且$\frac{a}{b}＞0$，即$a,b$不为0且同号即可，故选项A,C,D都符合.
(2)$\because a＞b＞c,\therefore a-b＞0,b-c＞0$，
$\therefore \frac{a-c}{2}=\frac{(a-b)+(b-c)}{2} \geqslant \sqrt{(a-b)(b-c)}$，当且仅当$a-b=b-c$，即$2b=a+c$时等号成立.

4. 给出下列命题：
① 若 $x \in \mathbf{R}$，则 $x + \frac{1}{x} \geq 2$；
② 若 $a ＜ 0$，$b ＜ 0$，则 $ab + \frac{1}{ab} \geq 2$；
③ 不等式 $\frac{y}{x} + \frac{x}{y} \geq 2$ 成立的条件是 $x ＞ 0$ 且 $y ＞ 0$.
其中正确命题的序号是②.

答案： 跟踪训练 4.答案：②
解析：只有当$x＞0$时，才能由基本不等式得到$x+\frac{1}{x} \geqslant 2\sqrt{x · \frac{1}{x}}=2$，故①错误；当$a＜0,b＜0$时，$ab＞0$，由基本不等式可得$ab+\frac{1}{ab} \geqslant 2\sqrt{ab · \frac{1}{ab}}=2$，故②正确；由基本不等式可知，当$\frac{y}{x}＞0,\frac{x}{y}＞0$时，有$\frac{y}{x}+\frac{x}{y} \geqslant 2\sqrt{\frac{y}{x} · \frac{x}{y}}=2$成立，这时只需$x$与$y$同号即可，故③错误.

5. 若 $a \geq b ＞ 0$，试比较 $a$，$\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$，$\frac{a + b}{2}$，$\sqrt{ab}$，$\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$，$b$ 的大小.

答案： 5.解：$a \geqslant b＞0,\therefore \frac{a^{2}+b^{2}}{2} \leqslant \sqrt{\frac{a^{2}+a^{2}}{2}}=a$，
$\because a^{2}+b^{2} \geqslant 2ab$，
$\therefore 2(a^{2}+b^{2}) \geqslant (a+b)^{2},\therefore \frac{a^{2}+b^{2}}{2} \geqslant (\frac{a+b}{2})^{2}$
又$a＞0,b＞0$，则$\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}} \geqslant \sqrt{(\frac{a+b}{2})^{2}}=\frac{a+b}{2}$.
由$a＞0,b＞0$，得$\frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{ab}$，
$\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geqslant \sqrt{\frac{1}{a} · \frac{1}{b}}$.
$\therefore \sqrt{ab} \geqslant \sqrt{\frac{1}{a} · \frac{1}{b}}$.
$\because \frac{2}{a}+\frac{1}{b}-b=\frac{b(a-b)}{a+b} \geqslant 0,\therefore \frac{2}{a}+\frac{1}{b} \geqslant b$，
$\therefore a \geqslant \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}} \geqslant \frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{ab} \geqslant \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \geqslant b$.