《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 角度与弧度的互化

答案： 1.$\frac{\pi}{180}$

[例 2] 将下列角度与弧度进行互化：
(1) $\frac{51}{6}\pi$；(2) $-\frac{7\pi}{12}$；(3) $10^{\circ}$；(4) $-855^{\circ}$.
[分析] 利用角度制与弧度制换算公式.

答案： [例2] [解]
(1)$\frac{511}{6}\pi=(\frac{511\pi}{6}×\frac{180}{\pi})^{\circ}=15330^{\circ}$.
(2)$-\frac{7\pi}{12}=(-\frac{7\pi}{12}×\frac{180}{\pi})^{\circ}=-105^{\circ}$.
(3)$10^{\circ}=10×\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{18}$，
(4)$-855^{\circ}=-855×\frac{\pi}{180}=-\frac{19\pi}{4}$.

2. (多选) 下列转化结果正确的是(ABD)

A.$30^{\circ}$化成弧度是$\frac{\pi}{6}$
B.$-\frac{10\pi}{3}$化成角度是$-600^{\circ}$
C.$67^{\circ}30'$化成弧度是$\frac{2\pi}{7}$
D.$\frac{8\pi}{5}$化成角度是$288^{\circ}$

答案： 跟踪训练 2.ABD $30^{\circ}$化成弧度是$\frac{\pi}{6}$，A正确；$-\frac{10\pi}{3}$化成角度是$-600^{\circ}$，B正确；$67^{\circ}30'$是$67.5^{\circ}=67.5×\frac{\pi}{180}=\frac{3\pi}{8}$，C错误；$\frac{8\pi}{5}$化成角度是$288^{\circ}$，D正确.

3. 已知$\alpha = 15^{\circ}$，$\beta = \frac{\pi}{10}$ rad，$\gamma = 1$ rad，$\theta = 105^{\circ}$，$\varphi = \frac{7\pi}{12}$ rad，试比较$\alpha$，$\beta$，$\gamma$，$\theta$，$\varphi$的大小.

答案： 跟踪训练 3.解:法一:(化为弧度)
$\alpha=15^{\circ}=15×\frac{\pi}{180} rad=\frac{\pi}{12} rad$,
$\theta=105^{\circ}=105×\frac{\pi}{180} rad=\frac{7\pi}{12} rad$,
显然$\frac{\pi}{12}＜\frac{\pi}{10}＜1＜\frac{7\pi}{12}$，
故$\alpha＜\beta＜\gamma＜\theta=\varphi$.
法二:(化为角度)
$\beta=\frac{\pi}{10} rad=(\frac{\pi}{10}×\frac{180}{\pi})^{\circ}=18^{\circ}$,$\gamma=1 rad\approx57.30^{\circ}$,
$\varphi=(\frac{7\pi}{12}×\frac{180}{\pi})^{\circ}=105^{\circ}$.
显然,$15^{\circ}＜18^{\circ}＜57.30^{\circ}＜105^{\circ}$.
故$\alpha＜\beta＜\gamma＜\theta=\varphi$.