《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

利用充分不必要、必要不充分、充要条件求解参数问题，一般结合定义或集合关系求解。

答案： 集合

[例5]
已知$ p $：$ -2\leqslant x\leqslant 10 $，$ q $：$ 1 - m\leqslant x\leqslant 1 + m(m ＞ 0) $，若$ p $是$ q $的必要不充分条件，求实数$ m $的取值范围。
[分析]
利用集合法求解。
变设问
本例中$ p $，$ q $不变，是否存在实数$ m $使$ p $是$ q $的充要条件？若存在，求出$ m $的值；若不存在，请说明理由。
跟踪训练
5. 若在例5中“$ p $是$ q $的必要不充分条件”改为“$ p $是$ q $的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数$ m $的取值范围。

答案： [例5] [解] $p:-2\leq x\leq10,q:1 - m\leq x\leq1 + m(m\gt0)$.因为$p$是$q$的必要不充分条件,所以$q$是$p$的充分不必要条件.即$\{x|1 - m\leq x\leq1 + m\}\subsetneqq\{x|-2\leq x\leq10\}$,故有$\begin{cases}1 - m\geq - 2,\\1 + m\leq10,\end{cases}$或$\begin{cases}1 - m\geq - 2,\\1 + m\lt10,\end{cases}$或$\begin{cases}1 - m\gt - 2,\\1 + m\leq10,\end{cases}$解得$m\leq3$,又$m\gt0$,所以实数$m$的取值范围为$\{m|0\lt m\leq3\}$.[变设问] 解：因为$p:-2\leq x\leq10,q:1 - m\leq x\leq1 + m(m\gt0)$.若$p$是$q$的充要条件,则$\begin{cases}-2 = 1 - m,\\10 = 1 + m,\end{cases}$ $m$不存在.故不存在实数$m$,使得$p$是$q$的充要条件.
@@跟踪训练 5.解：$p:-2\leq x\leq10,q:1 - m\leq x\leq1 + m(m\gt0)$.因为$p$是$q$的充分不必要条件,设$p$代表的集合为$A,q$代表的集合为$B$,所以$A\subsetneqq B$.所以$\begin{cases}1 - m\leq - 2,\\1 + m\gt10,\end{cases}$或$\begin{cases}1 - m\lt - 2,\\1 + m\geq10,\end{cases}$解得$m\geq9$,即实数$m$的取值范围为$\{m|m\geq9\}$.

1. “三角形的三条边都相等”是“三角形是等边三角形”的(C)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 1.C 三角形的三条边都相等可以推出三角形是等边三角形,反之也成立.

2. 若$ a\in \mathbf{R} $，则“$ a = 2 $”是“$ (a - 1)(a - 2)=0 $”的(A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 2.A 因为$a = 2\Rightarrow(a - 1)(a - 2)=0$,但是$(a - 1)(a - 2)=0\Rightarrow a = 1$或$a = 2$,所以“$a = 2$”是“$(a - 1)(a - 2)=0$”的充分不必要条件.

3. $ p $：$ x_{1} $，$ x_{2} $是方程$ x^{2}+5x - 6 = 0 $的两根，$ q $：$ x_{1}+x_{2}=-5 $，那么$ p $是$ q $的充分不必要条件。

答案： 3.答案：充分不必要
解析：$\because x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}+5x - 6 = 0$的两根,
$\therefore x_{1}+x_{2}=-5$.当$x_{1}=-1,x_{2}=-4$时,$x_{1}+x_{2}=-5$,而$-1,-4$不是方程$x^{2}+5x - 6 = 0$的两根.

4. $ A $是$ B $的充分条件，$ D $是$ C $的必要条件，$ C $是$ B $的充要条件，则$ D $是$ A $的必要(填“充分”“必要”或“充要”)条件。

答案：
4.答案：必要
解析：由已知$A\Rightarrow B,D\subsetneqq C,B\Leftrightarrow C$.

因此$A\Rightarrow B\Leftrightarrow C\Rightarrow D$.
可知$A\Rightarrow D$,因此$D$为$A$的必要条件.