《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

一般地，函数y=$\log_{a}x (a＞0,且a\neq1)$叫做对数函数，其中$x$是自变量，定义域是$(0,+ \infty)$.

答案： y=$\log_{a}x (a＞0,且a\neq1) \quad (0,+ \infty)$

[例1] 下列函数表达式中，是对数函数的有( )
①$y = \log_{x}2$；②$y = \log_{a}x(a \in \mathbf{R})$；③$y = \log_{8}x$；
④$y = \ln x$；⑤$y = \log_{x}(x + 2)$；⑥$y = 2\log_{2}x$；
⑦$y = \log_{2}(x + 1)$.

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： [例1] [答案] C
[解析] 由于①中自变量出现在底数上，
所以①不是对数函数；由于②中底数$a \in R$
不能保证$a＞0$且$a\neq1$，所以②不是对数函
数；由于⑤⑦的真数分别为$(x+2)$，$(x+1)$，所以⑤⑦也不是对数函数；⑥中$y=2\log_{2}x$可化为$y=\log_{2}x^{2}$，所以⑥是对数函
数；③④符合对数函数的定义.共有3个对
数函数.

1. 下列函数是对数函数的是 (B)

A.$y = \log_{a}(5 + x)(a ＞ 0$，且$a \neq 1)$
B.$y = \log_{\sqrt{3} - 1}x$
C.$y = \log_{3}( - x)$
D.$y = \log_{x}\sqrt{3}(x ＞ 0$，且$x \neq 1)$

答案： 跟踪训练 1.B A和C中自变量不是$x$，所
以不是对数函数；D中底数是$x$，不是常数；
B符合对数函数的特征，所以是对数函数.

对数函数的解析式为$y=\log_{a}x (a＞0,且a\neq1)$.
三个结构特征：(1)系数为$1$；(2)$a＞0$，且$a \neq 1$；(3)真数为$x$.

答案： 知识点2
$y=\log_{a}x (a＞0,且a\neq1)$

[例2] 已知对数函数$f(x)$的图象过点$P(8,3)$，则$f(\frac{1}{32}) =$-5.
[分析] 利用待定系数法求出对数函数.

答案： [例2] [答案] -5
[解析] 设对数函数$f(x)=\log_{a}x (a＞0$,
且$a\neq1)$，
$\because f(x)$的图象过点$P(8,3)$，
$\therefore 3=\log_{a}8,\therefore a^{3}=8$,解得$a=2$，
$\therefore f(x)=\log_{2}x$，
$\therefore f(\frac{1}{32})=\log_{2}\frac{1}{32}=\log_{2}2^{-5}=-5$.

2. 已知函数$f(x)$是对数函数，且$f(\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{1}{2}$，则$f(2\sqrt{2}) =$$\frac{3}{2}$.

答案： 跟踪训练 2.答案: $\frac{3}{2}$
解析:设$f(x)=\log_{a}x (a＞0$,且$a\neq1)$，
因为$f(\frac{\sqrt{2}}{2})=-\frac{1}{2}$，
所以$\log_{a}\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{1}{2}$，即$a^{-\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得$a$
$=2$，
所以$f(x)=\log_{2}x$，
所以$f(2\sqrt{2})=\log_{2}2\sqrt{2}=\log_{2}2^{\frac{3}{2}}=\frac{3}{2}$.

因为对数函数是由指数函数变化而来的，对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值，所以对数函数的定义域是$(0,+ \infty)$，对数函数的底数$a＞0$，且$a \neq 1$.

答案： 知识点3
$(0,+ \infty)$

[例3] 求下列函数的定义域：
(1)$y = \log_{a}(3 - x) + \log_{a}(3 + x)(a ＞ 0$，且$a \neq 1)$；
(2)$y = \log_{2}(16 - 4^{x})$.
[分析] 依据使函数有意义的条件列出不等式(组)$\rightarrow$解不等式(组)$\rightarrow$写出函数的定义域.
[变条件1] 把本例(1)中的函数改为$y = \log_{a}(x - 3) + \log_{a}(x + 3)$，求定义域.
[变条件2] 求函数$y = \log_{a}[(x + 3)(x - 3)]$的定义域.

答案： [例3] [解]
(1)由$\begin{cases}3-x＞0,\\3+x＞0,\end{cases}$得$-3＜x$
$＜3$，
所以函数的定义域是$\{x \mid -3＜x＜3\}$.
(2)由$16-4^{x}＞0$，得$4^{x}＜16=4^{2}$，
由指数函数的单调性得$x＜2$，
即函数$y=\log_{2}(16-4^{x})$的定义域为$\{x \mid x$
$＜2\}$.
[变条件1] 解:由$\begin{cases}x-3＞0,\\x+3＞0,\end{cases}$得$x＞3$.
所以函数$y=\log_{a}(x-3)+\log_{a}(x+3)$的定
义域为$\{x \mid x＞3\}$.
[变条件2] 解:$(x+3)(x-3)＞0$，即$\begin{cases}x+3＞0,\\x-3＞0\end{cases}$或$\begin{cases}x+3＜0,\\x-3＜0,\end{cases}$
解得$x＜-3$或$x＞3$.
所以函数$y=\log_{a}[(x+3)(x-3)]$的定义
域为$\{x \mid x＜-3$,或$x＞3\}$.