《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

指数函数$y = a^{x}(a ＞ 0$,且$a \neq 1)$的单调性
当$0 ＜ a ＜ 1$时，指数函数$y = a^{x}(a ＞ 0$,且$a \neq 1)$在$( - \infty, + \infty)$上是减函数.
当$a ＞ 1$时，指数函数$y = a^{x}(a ＞ 0$,且$a \neq 1)$在$( - \infty, + \infty)$上是增函数.

答案： 知识点3 减函数 增函数

[例3] $0.4^{3},3^{0.4},\pi^{0}$的大小顺序由小到大排列依次为$0.4^{3}＜\pi^{0}＜3^{0.4}$.
[分析] 因为$\pi^{0} = 1$，所以由$y = 0.4^{x}$是减函数，$y = 3^{x}$是增函数，确定$0.4^{3},3^{0.4}$与$1$的关系即可.

答案： [例3] [答案] $0.4^{3}＜\pi^{0}＜3^{0.4}$
[解析] 因为$\pi^{0}=1$,函数$y = 0.4^{x}$是单调递减函数,$3＞0$,所以$0.4^{3}＜0.4^{0}=1$.因为函数$y = 3^{x}$是单调递增函数且$0.4＞0$,所以$1 = 3^{0}＜3^{0.4}$,所以$0.4^{3}＜\pi^{0}＜3^{0.4}$.

4. 已知$a = 2^{\frac{4}{3}},b = 4^{\frac{2}{5}},c = 25^{\frac{1}{3}}$，则
(A)

A.$b ＜ a ＜ c$
B.$a ＜ b ＜ c$
C.$b ＜ c ＜ a$
D.$c ＜ a ＜ b$

答案： 跟踪训练 4.A $a = 2^{\frac{1}{3}}=4^{\frac{1}{6}}＞4^{\frac{1}{3}}=b$,$c = 25^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{25}＞\sqrt[3]{16}=4^{\frac{1}{3}}=a$,所以$b ＜ a ＜ c$.

1. 如图，①②③④中不属于函数$y = 2^{x},y = 3^{x},y = \left( \frac{1}{2} \right)^{x}$的一个是
(B)


A.①
B.②
C.③
D.④

答案： 课堂达标·素养提升
1.B 当底数$a＞1$时,函数单调递增,当$0＜a＜1$时,函数单调递减,当底数$a＞1$,满足数越大函数的图象在$x＞0$时,越靠近$y$轴,则③是对应函数$y = 3^{x}$的图象,④是对应函数$y = 2^{x}$的图象,根据对称性,①是对应函数$y = (\frac{1}{2})^{x}$的图象,所以②不是.

2.$3^{x} ＜ 1$的解集为$(-\infty,0)$.

答案： 2.答案：$(-\infty,0)$
解析：$3^{x}＜1 = 3^{0}$,即$x＜0$.

3. 函数$y = 4^{x} + 1$的值域为$(1,+\infty)$.

答案： 3.答案：$(1,+\infty)$
解析：设$4^{x}=t(t＞0)$,则$y = t + 1(t＞0)$,所以$y＞1$,即$y = 4^{x}+1$的值域为$(1,+\infty)$.

1. 一般地，函数 $ y = a^{x + m} + n(a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $，$ m $，$ n $ 为实数)的图象是由函数 $ y = a^{x}(a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1) $ 的图象沿 $ x $ 轴向左($ m ＞ 0 $)或向右($ m ＜ 0 $)平移$\vert m\vert$个单位长度后，再沿 $ y $ 轴向上($ n ＞ 0 $)或向下($ n ＜ 0 $)平移$\vert n\vert$个单位长度得到的.

答案： 1.$\vert m\vert$ $\vert n\vert$

[例1]
利用指数函数 $ y = f(x) = 2^{x} $ 的图象，作出下列各函数的图象：
(1) $ y = f(x - 1) $；(2) $ y = f(|x|) $；
(3) $ y = f(x) - 1 $；(4) $ y = -f(x) $；
(5) $ y = |f(x) - 1| $；(6) $ y = -f(-x) $.
[分析]
图象变换时，注意定点和渐近线.

答案：
[例1]　[解]　利用指数函数$f(x)=2^{x}$的图象及变换作图法可作出所要求作的函数图象，其图象如图所示。