《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

用弧度表示与角$\alpha$终边相同的角的一般形式为$\beta = \alpha + 2k\pi (k \in \mathbb{Z})$. 这些角所组成的集合为$\{ \beta | \beta = \alpha + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} \}$.

答案： {β|β=α+2kπ,k∈Z}

[例 3] 把角$-930^{\circ}$化成$\alpha + 2k\pi (0 \leq \alpha ＜ 2\pi, k \in \mathbb{Z})$的形式为(D)

A.$\frac{5\pi}{6} - 5\pi$
B.$-\frac{7\pi}{6} - 4\pi$
C.$150^{\circ} - 6\pi$
D.$\frac{5\pi}{6} - 6\pi$

答案： [例3] [答案] D
[解析] $-930^{\circ}=-930×\frac{\pi}{180}=-\frac{31\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}-6\pi$.

[例 4] (1) 用弧度制表示与$150^{\circ}$角终边相同的角的集合；
(2) 用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合.

[分析] 先将角度制化为弧度制，再解决有关问题.

答案： [例4] [解]
(1)$150^{\circ}=150×\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{6}$，故与$150^{\circ}$角终边相同的角的集合为$\{\beta|\beta=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}\}$.
(2)对于题图，$225^{\circ}$角的终边可以看作是$-135^{\circ}$角的终边，化为弧度，即$-\frac{3\pi}{4}$，$60^{\circ}$角的终边即$\frac{\pi}{3}$的终边，故所求集合为$\{\alpha|-\frac{3\pi}{4}+2k\pi＜\alpha＜\frac{\pi}{3}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}\}$.

4. 若角$\alpha$的终边在如图所示的阴影部分内(包括边界)，则角$\alpha$的取值范围是(D)


A.$\left\{ \alpha \left| \frac{\pi}{6} ＜ \alpha ＜ \frac{\pi}{3} \right. \right\}$
B.$\left\{ \alpha \left| \frac{2\pi}{3} ＜ \alpha ＜ \frac{7\pi}{6} \right. \right\}$
C.$\left\{ \alpha \left| \frac{2\pi}{3} \leq \alpha \leq \frac{7\pi}{6} \right. \right\}$
D.$\left\{ \alpha \left| 2k\pi + \frac{2\pi}{3} \leq \alpha \leq 2k\pi + \frac{7\pi}{6}, k \in \mathbb{Z} \right. \right\}$

答案： 跟踪训练 4.D 阴影部分两条边界可以分别是$\frac{2\pi}{3}$和$\frac{7\pi}{6}$的终边.故$\alpha$的取值范围为$\{\alpha|2k\pi+\frac{2\pi}{3}\leqslant\alpha\leqslant2k\pi+\frac{7\pi}{6},k\in\mathbf{Z}\}$.

如图，设扇形的半径为$R$，弧长为$l$，圆心角为$\alpha (0 ＜ \alpha ＜ 2\pi)$.

答案： 由于题目中未给出具体的问题（如求弧长、面积、圆心角等），无法进行针对性解答。请提供完整的题目要求，以便我按照规范格式为你解答。

1. 弧长公式：$l = \alpha R$.

答案： 弧长公式$l = \alpha R$（其中$\alpha$为圆心角弧度数，$R$为半径，$l$为弧长）

2. 面积公式：$S = $$\frac{1}{2}\alpha R^{2}$$ = $$\frac{1}{2}lR$$$.

答案： 2.$\frac{1}{2}\alpha R^{2}$

3. 弧长公式及面积公式的两种表示：

答案： 3.$l=\alpha R$