《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 指数函数$y = a^{x}(a ＞ 0$,且$a \neq 1)$的图象和性质

答案： 知识点1
1.R $(0,+\infty)$

2. 在同一平面直角坐标系中，画出不同底数的指数函数的图象如图所示.

直线$x = 1$与四个指数函数$y = a^{x},y = b^{x},y = c^{x},y = d^{x}$的交点依次为$(1,a),(1,b),(1,c),(1,d)$，所以有$0 ＜ b ＜ a ＜ 1 ＜ d ＜ c$，因此可得出以下结论：在$y$轴的右侧，底数越大，图象越高，简称“底大图高”.

答案： 正确

[例1] (1)函数$y = a^{x - 1}(a ＞ 0$,且$a \neq 1)$的图象恒过定点$P$，则点$P$的坐标为
(B)
A.$(0,1)$
B.$(1,1)$
C.$( - 1,1)$
D.$(1,0)$
(2)已知$1 ＞ n ＞ m ＞ 0$，则指数函数①$y = m^{x}$，②$y = n^{x}$的图象为(C)

A.
B.
C.
D.

答案： [例1] [答案]
(1)B
(2)C
[解析]
(1)由于指数函数$y=a^{x}(a＞0$,且$a\neq1)$的图象恒过点$(0,1)$,因而当$x=1$时,$y=1$,与$a$的取值无关.
(2)由于$0＜m＜n＜1$,所以$y=m^{x}$与$y=n^{x}$都是减函数,故排除A,B项,作直线$x = 1$与两个曲线相交(图略),交点在下面的是函数$y=m^{x}$的图象.

1. 函数$f(x) = a^{2024 - x} + 2023(a ＞ 0$,且$a \neq 1)$的图象恒过定点
(D)
A.$(2023,2023)$
B.$(2024,2023)$
C.$(2023,2024)$
D.$(2024,2024)$
(2)图中的曲线$C_{1},C_{2},C_{3},C_{4}$是指数函数$y = a^{x}$的图象，而$a \in \left\{ \frac{\sqrt{2}}{3},\frac{1}{3},\sqrt{5},\pi \right\}$，则图象$C_{1},C_{2}$，$C_{3},C_{4}$对应的函数的底数依次是$\frac{\sqrt{2}}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\pi$，$\sqrt{5}$.

答案： 跟踪训练 1.答案：
(1)D
(2)$\frac{\sqrt{2}}{3}$ $\frac{1}{3}$ $\pi$ $\sqrt{5}$
解析：
(1)令$2024 - x = 0$,即$x = 2024$,则$f(2024)=a^{0}+2023 = 2024$,故函数$f(x)$的图象恒过定点$(2024,2024)$.
(2)由底数变化引起指数函数图象变化的规律,在$y$轴右侧,底大图高,在$y$轴左侧,底大图低.则知$C_{2}$的底数$＜C_{1}$的底数$＜1＜C_{4}$的底数$＜C_{3}$的底数,而$\frac{1}{3}＜\frac{\sqrt{2}}{3}＜\frac{\sqrt{5}}{3}＜\pi$,故$C_{1},C_{2},C_{3},C_{4}$对应函数的底数依次是$\frac{\sqrt{2}}{3},\frac{1}{3},\pi,\sqrt{5}$(也可以作直线$x = 1$求解).