《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

已知一元二次不等式解集逆求参数，本质是考查“三个二次”间的联系，将不等式的解集借助二次函数图象转化为相应方程的_______是解题的关键.

答案： 根

[例$2$] 已知关于$x$的不等式$ax^{2}+bx + c＞0$的解集为$\{x\mid2＜x＜3\}$，求关于$x$的不等式$cx^{2}+bx + a＜0$的解集.
[分析] 由条件知$2,3$是方程$ax^{2}+bx + c = 0$的两实数根，且$a＜0$，再利用根与系数的关系找到$a,b,c$的关系，代入求解.
[变设问] 若本例中条件不变，求关于$x$的不等式$cx^{2}-bx + a＞0$的解集.

答案： 知识点2
[例2] [解] 法一：由不等式$ax^{2} + bx + c ＞ 0$的解集为$\{ x|2 ＜ x ＜ 3\}$可知，$a ＜ 0$，且$2$和$3$是方程$ax^{2} + bx + c = 0$的两根，由根与系数的关系可知$\frac {b}{a} = - 5$，$\frac {c}{a} = 6$。由$a ＜ 0$知$c ＜ 0$，$\frac {b}{a} = - 5$，故不等式$cx^{2} + bx + a ＜ 0$，
即$x^{2} + \frac {b}{c}x + \frac {a}{c} ＞ 0$，即$x^{2} - \frac {5}{6}x + \frac {1}{6} ＞ 0$，解得$x ＜ \frac {1}{3}$或$x ＞ \frac {1}{2}$，所以不等式$cx^{2} + bx + a ＜ 0$的解集为$\{ x|x ＜ \frac {1}{3}$，或$x ＞ \frac {1}{2}\}$。
法二：由不等式$ax^{2} + bx + c ＞ 0$的解集为$\{ x|2 ＜ x ＜ 3\}$可知，$a ＜ 0$，且$2$和$3$是方程$ax^{2} + bx + c = 0$的两根，所以$ax^{2} + bx + c = a(x - 2)(x - 3) = ax^{2} - 5ax + 6a \Rightarrow b = - 5a$，$c = 6a$，故不等式$cx^{2} + bx + a ＜ 0$，即$6ax^{2} - 5ax + a ＜ 0 \Rightarrow 6a(x - \frac {1}{3})(x - \frac {1}{2}) ＜ 0$，故原不等式的解集为$\{ x|x ＜ \frac {1}{3}$，或$x ＞ \frac {1}{2}\}$。
[变设问] 解：由根与系数的关系知$\frac {b}{a} = - 5$，$\frac {c}{a} = 6$且$a ＜ 0$。
所以$c ＜ 0$，$\frac {b}{c} = - \frac {5}{6}$，故不等式$cx^{2} - bx + a ＞ 0$，
即$x^{2} - \frac {b}{c}x + \frac {a}{c} ＜ 0$，即$x^{2} + \frac {5}{6}x + \frac {1}{6} ＜ 0$。
解得$-\frac {1}{2} ＜ x ＜ -\frac {1}{3}$。
故原不等式的解集为$\{ x| - \frac {1}{2} ＜ x ＜ - \frac {1}{3}\}$。

2.关于$x$的不等式$ax^{2}+bx + c\geq0$的解集是$\{x\mid-\frac{1}{3}\leq x\leq2\}$.求不等式$cx^{2}+bx + a＜0$的解集.

答案： 跟踪训练 2.解：法一：由$ax^{2} + bx + c \geqslant 0$的解集为$\{ x| - \frac {1}{3} \leqslant x \leqslant 2\}$知$a ＜ 0$。
又$( - \frac {1}{3}) × 2 = \frac {c}{a} ＜ 0$，则$c ＞ 0$。
又$- \frac {1}{3}$，$2$为方程$ax^{2} + bx + c = 0$的两个根，
$\therefore - \frac {b}{a} = \frac {5}{3}$，$\therefore \frac {b}{a} = - \frac {5}{3}$。
又$\frac {c}{a} = - \frac {2}{3}$，$\therefore b = - \frac {5}{3}a$，$c = - \frac {2}{3}a$，
$\therefore$不等式$cx^{2} + bx + a ＜ 0$变为$( - \frac {2}{3}a)x^{2} + ( - \frac {5}{3}a)x + a ＜ 0$，
即$2ax^{2} + 5ax - 3a ＞ 0$。
又$a ＜ 0$，$\therefore 2x^{2} + 5x - 3 ＜ 0$，
故所求不等式的解集为$\{ x| - 3 ＜ x ＜ \frac {1}{2}\}$。
法二：由已知得$a ＜ 0$且$( - \frac {1}{3}) + 2 = - \frac {b}{a}$，$( - \frac {1}{3}) × 2 = \frac {c}{a}$知$c ＞ 0$，
设方程$cx^{2} + bx + a = 0$的两根分别为$x_1$，$x_2$，
则$x_1 + x_2 = - \frac {b}{c}$，$x_1 · x_2 = \frac {a}{c}$。
其中$\frac {a}{c} = \frac {1}{( - \frac {1}{3}) × 2} = - \frac {3}{2} × \frac {1}{2} = - \frac {5}{2}$，
$\frac {b}{c} = \frac { - \frac {b}{a}}{ \frac {c}{a}} = \frac { - ( - \frac {5}{3})}{ - \frac {2}{3}} = - \frac {5}{2}$。
$\therefore x_1 = - 3$，$x_2 = \frac {1}{2}$
$\therefore$不等式$cx^{2} + bx + a ＜ 0(c ＞ 0)$的解集为$\{ x| - 3 ＜ x ＜ \frac {1}{2}\}$。

[例$3$] 某摩托车生产企业，上年度生产车的投入成本为$1$万元/辆，出厂价为$1.2$万元/辆，年销售量为$1000$辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为$x(0＜x＜1)$，则出厂价相应提高的比例为$0.75x$，同时预计年销售量增加的
比例为$0.6x$，已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.
(1)写出本年度预计的年利润$y$与投入成本增加的比例$x$之间的关系式；
(2)为使本年度的利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例$x$应在什么范围内?
[分析] (1)首先用变量$x$正确表示投入成本、出厂价、年销售量，进而得到$y$的表达式.
(2)注意$x$的限制范围对不等式解的影响.

答案： 知识点3
[例3] [解]
(1)每辆车投入成本增加的比例为$x$，则每辆车投入成本为$1 × (1 + x)$万元，出厂价为$1.2 × (1 + 0.75x)$万元，年销量为$1000 × (1 + 0.6x)$辆。
$\because y = [1.2 × (1 + 0.75x) - 1 × (1 + x)] × 1000 × (1 + 0.6x)$，
即$y = - 60x^{2} + 20x + 200(0 ＜ x ＜ 1)$。
(2)欲保证本年度的年利润比上年度有所增加，则$\begin{cases} y - (1.2 - 1) × 1000 ＞ 0 \\ 0 ＜ x ＜ 1 \end{cases}$，
即$\begin{cases} - 60x^{2} + 20x ＞ 0 \\ 0 ＜ x ＜ 1 \end{cases}$，
$\therefore 0 ＜ x ＜ \frac {1}{3}$。
$\therefore$为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例$x$应满足$0 ＜ x ＜ \frac {1}{3}$。