《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 若函数$y = \log_{a}(x + b) + c (a＞0，且a \neq 1)$的图象恒过定点$(3，2)$，则实数$b$，$c$的值分别为-2,2.

答案： 跟踪训练1.答案:-2,2
解析:
∵函数的图象恒过定点(3,2),
∴将(3,2)代入y=logₐ(x+b)+c,得2=logₐ(3+b)+c.
又当a＞0,且a≠1时,logₐ1=0恒成立,
∴c=2,3+b=1,
∴b=-2,c=2.

对数函数值的变化

即当$a＞0$，且$x＞0$时，$(a - 1)(x - 1)＞0 \Leftrightarrow y＞0$；$(a - 1)(x - 1)＜0 \Leftrightarrow y＜0$.

答案： | 底数 | $a＞1$ | $0＜ a＜ 1$ |
| --- | --- | --- |
| 函数值变化 | 当$x＞1$时，$y＞0$；当$0＜x＜1$时，$y＜0$ | 当$x＞1$时，$y＜0$；当$0＜x＜1$时，$y＞0$ |

[例2] 比较下列各组数的大小：
(1)$\log_{3}10.5$与$\log_{3}10.2$；
(2)$log_{\frac{1}{2}}8$与$\log_{\frac{1}{2}}4$；
(3)$\log_{5}6$与$\log_{6}5$；
(4)$log_{a}3.2$与$log_{a}3.7 (a＞0，且a \neq 1)$.

答案： [例2] [解]
(1)因为y=log3.1x在定义域(0,+∞)上是增函数,0.5＞0.2,
所以log3.1 0.5＞log3.1 0.2.
(2)法一:因为y=log₁/₄ x在定义域(0,+∞)上是减函数,8＞4,所以log₁/₄ 8＜log₁/₄ 4.
法二:log₁/₄ 8=-3,log₁/₄ 4=-2,
由-3＜-2知log₁/₄ 8＜log₁/₄ 4.
(3)因为log5 6＞log5 5=1,log6 5＜log6 6=1,所以log5 6＞log6 5.
(4)当a＞1时,y=logₐx在定义域(0,+∞)上是增函数,所以logₐ3.2＜logₐ3.7;
当0＜a＜1时,y=logₐx在定义域(0,+∞)上是减函数,所以logₐ3.2＞logₐ3.7.

2. 比较下列各组中两个值的大小：
(1)$\log_{3}1.9$，$\log_{3}2$；
(2)$\log_{2}3$，$\log_{0.3}2$；
(3)$log_{a}\pi$，$log_{a}3.14 (a＞0，且a \neq 1)$.

答案： 跟踪训练2.解:
(1)因为y=log3x在定义域(0,+∞)上是增函数,所以log31.9＜log32.
(2)因为log23＞log21=0,log0.3 2＜log0.3 1=0,
所以log23＞log0.3 2.
(3)当a＞1时,函数y=logₐx在定义域(0,+∞)上是增函数,则有logₐπ＞logₐ3.14;
当0＜a＜1时,函数y=logₐx在定义域(0,+∞)上是减函数,则有logₐπ＜logₐ3.14.
综上,当a＞1时,logₐπ＞logₐ3.14;
当0＜a＜1时,logₐπ＜logₐ3.14.