《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 对必要条件的理解
必要条件是在充分条件的基础上得出的，$ q $是$ p $的必要条件是指以$ p $为条件可以推出结论$ q $，但并不意味着由条件$ p $只能推出结论$ q $.

答案： 1.必要条件

2. 设非空集合$ A = \{x | p(x)\} $，$ B = \{x | q(x)\} $.
若$ B \subseteq A $，则$ p $为$ q $的必要条件.

答案： 2.必要条件

[例6] 设命题甲：$ -1 ＜ x ＜ 5 $，命题乙：$ |x - 2| ＜ 4 $，则乙是甲的必要(填“充分”或“必要”)条件.
[分析] 利用必要条件定义或两命题对应集合的包含关系求解即可.

答案： [例6] [答案] 必要
[解析] 法一：命题甲：-1 ＜ x ＜ 5，
命题乙：-2 ＜ x ＜ 6，
若命题乙不成立，显然甲也不成立.
因此，乙是甲的必要条件.
法二：甲对应集合A = \{x | -1 ＜ x ＜ 5\}，
乙对应集合B = \{x | -2 ＜ x ＜ 6\}，
因为A ⊆ B，所以乙是甲的必要条件.

[例7] 已知集合$ P = \{x | -2 ＜ x ＜ 1\} $，$ Q = \{x | 3m - 2 \leq x \leq 5m + 2, m \in \mathbf{R}\} $.若$ P $的必要条件为$ Q $，求实数$ m $的取值范围.
[分析] 利用集合法，$ P $是$ Q $的子集.

答案： [例7] [解] 由题意得，P ⊆ Q，
则$ \begin{cases} 3m - 2 \leq -2, \\ 5m + 2 \geq 1, \end{cases} $解得$ -\frac{1}{5} \leq m \leq 0.$

5. 设$ x \in \mathbf{R} $，已知命题甲：“$ x ＜ 3 $”，命题乙：“$ -1 ＜ x ＜ 3 $”，则甲是乙的必要(填“充分”或“必要”)条件.

答案： 跟踪训练 5. 答案：必要
解析：当x = -2时，满足x ＜ 3，但“-1 ＜ x ＜ 3”不成立，即甲不是乙的充分条件；当“-1 ＜ x ＜ 3”时，x ＜ 3成立，即甲是乙的必要条件.

一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.

答案： 必要条件

[例8] “四边形是平行四边形”的一个必要条件是“这个四边形的两组对角分别相等”，这样的必要条件是唯一的吗？如果不唯一，你能给出“四边形为平行四边形”的其他几个必要条件吗？
[分析] 寻找“四边形为平行四边形”的必要条件，本质上是寻找“四边形为平行四边形”的性质定理.

答案： [例8] [解] 不唯一，如：“四边形的两组对边分别相等”；“四边形的一组对边平行且相等”；“四边形的两组对角线互相平分”等.

6. 如图，直线$ a $与$ b $被直线$ l $所截，分别得到了$ \angle 1 $，$ \angle 2 $，$ \angle 3 $和$ \angle 4 $.
请根据这些信息，写出几个“$ a // b $”的充分条件和必要条件.

答案： 跟踪训练 6. 解：“a // b”的充分条件：
∠1 = ∠2，∠1 = ∠4，∠1 + ∠3 = 180°（不唯一）；
“a // b”的必要条件：
∠1 = ∠2，∠1 = ∠4，∠1 + ∠3 = 180°（不唯一）.