《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 已知函数$f(x)=\begin{cases}x^2 + 1, & x ＞ 0 \\ -x^2 + 1, & x \leq 0\end{cases}$则$f(-\frac{1}{2}) =$ ( )

A.$\frac{5}{4}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{1}{4}$

答案： B 由$x\leq0$可知，$f(-\frac{1}{2})=-(-\frac{1}{2})^{2}+1=\frac{3}{4}$。

2. 已知函数$f(x)=\begin{cases}1 - x, & x \leq 0 \\ ax, & x ＞ 0\end{cases}$. 若$f(1)=2$，则实数$a$的值是 ( )

A.1
B.2
C.0
D.-1

答案： B 因为$f(1)=a = 2$，所以$a = 2$。

3. 已知函数$f(x)$的图象如图所示，则$f(x)$的解析式是.

答案： $f(x)=\begin{cases}x + 1, & -1\leq x＜0, \\-x, & 0\leq x\leq1\end{cases}$
解析：由题图可知，图象是由两条线段组成，
当$-1\leq x＜0$时，设$f(x)=ax + b(a\neq0)$，
将$(-1,0)$，$(0,1)$代入解析式，
则$\begin{cases}-a + b = 0, \\b = 1\end{cases}$
$\therefore\begin{cases}a = 1, \\b = 1\end{cases}$即$f(x)=x + 1$。
当$0\leq x\leq1$时，设$f(x)=kx(k\neq0)$，将$(1,-1)$代入，则$k = -1$，即$f(x)= -x$。
综上，$f(x)=\begin{cases}x + 1, & -1\leq x＜0, \\-x, & 0\leq x\leq1\end{cases}$

4. 某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过$10$立方米的，按每立方米$m$元收费；用水量超过$10$立方米的，超过部分按每立方米$2m$元收费. 则该单位职工每月应缴水费$y$与实际用水量$x$满足的函数关系式是. 若某职工某月缴水费$16m$元，则该职工这个月实际用水量为立方米.

答案： $y=\begin{cases}mx, & 0\leq x\leq10, \\2mx - 10m, & x＞10\end{cases}$ 13
解析：该单位职工每月应缴水费$y$与实际用水量$x$满足的函数关系式为
$y=\begin{cases}mx, & 0\leq x\leq10, \\2mx - 10m, & x＞10\end{cases}$
由$y = 16m$，可得$x＞10$。
因此$2mx - 10m = 16m$，
解得$x = 13$。

$y=f(x)$与$y=f(x+a),y=f(x)+b$的图象间的关系，其规律如下：
(1)函数$y=f(x+a)$的图象是由函数$y=f(x)$的图象沿$x$轴方向向左 ($a＞0$)或向右 ($a＜0$)平移$\vert a\vert$个单位长度得到的，即“左加右减”.
(2)函数$y=f(x)+b$的图象是由函数$y=f(x)$的图象沿$y$轴方向向上 ($b＞0$)或向下 ($b＜0$)平移$\vert b\vert$个单位长度得到的，即“上加下减”.
注意：左右移动加减的是自变量，上下移动加减的是函数值.

答案：
(1)向左　向右　$\vert a\vert$
(2)向上　向下 $\vert b\vert$

[例1] 画出函数$y=\frac{x}{x+1}$的图象.
[分析] $y=\frac{x}{x+1}=\frac{(x+1)-1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$，联想到熟悉的函数$y=-\frac{1}{x}$的图象，可考虑进行变换画图.(也可以描点作图)

答案：
因为$y=\frac{x}{x + 1}=1-\frac{1}{x + 1}$，所以可先画出函数$y = -\frac{1}{x}$的大致图象(如图虚线所示)，把所得图象向左平移1个单位长度，得到$y = -\frac{1}{x + 1}$的图象，再把所得图象向上平移1个单位长度就得到函数$y=\frac{x}{x + 1}$的图象，如图实线所示。

1. 已知函数$f(x)$的图象恒过点$(1,1)$，则函数$f(x-3)$的图象恒过点(4,1) .

答案： 1.答案:(4,1)
解析:因为$f(x - 3)$的图象是由$f(x)$的图象向右平移3个单位长度得到的，已知函数$f(x)$的图象恒过点(1,1)，所以函数$f(x - 3)$的图象恒过点(4,1)。