《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

一般地，对一个命题 $ p $ 进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定，记作 $ \neg p $，一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假.

答案： 否定 一真一假

[例 1] 命题：“77 是 19 的倍数”的否定是什么？并判断真假.

答案： [例1] [解] “77是19的倍数”的否定是“77不是19的倍数”；命题否定与原命题一真一假，因为“77是19的倍数”是假命题，所以它的否定“77不是19的倍数”为真命题.

1. 命题：“空集是集合 $ A = \{ x | x \geqslant 1, x \in \mathbf{R} \} $ 的真子集”的否定是什么？并判断真假.

答案： 跟踪训练 1.解：原命题的否定是“空集不是集合$A=\{x|x\geq1,x\in \mathbf{R}\}$的真子集”.空集为任意非空集合真子集，因为$A=\{x|x\geq1,x\in \mathbf{R}\}$不是空集，因此，原命题为真，所以其否定为假命题.

全称量词命题：$ \forall x \in M, p(x) $，它的否定：$ \exists x \in M, \neg p(x) $. 全称量词命题的否定是存在量词命题.

答案： 存在量词命题

[例 2] 写出下列全称量词命题的否定，并判断其否定的真假.
(1) 任何一个平行四边形的对边都平行；
(2) $ \forall a \in \mathbf{R} $，方程 $ x^2 + ax + 2 = 0 $ 有实数根；
(3) $ \forall a, b \in \mathbf{R} $，方程 $ ax = b $ 都有唯一解；
(4) 可以被 5 整除的整数，末位是 0.
[分析] 把全称量词改为存在量词，然后否定结论.

答案： [例2] [解]
(1)该命题的否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行，为假命题.
(2)该命题的否定:$\exists a\in \mathbf{R}$,方程$x^{2}+ax + 2 = 0$没有实数根，为真命题.
(3)该命题的否定:$\exists a,b\in \mathbf{R}$,使方程$ax = b$的解不唯一或不存在，为真命题.
(4)该命题的否定:存在被5整除的整数，末位不是0，为真命题.