《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

[例 2] (1)若已知函数 $ f(x) = x^2, x \in \{ -1,0,1 \} $, 则函数的值域为$\{0,1\}$.
(2)已知函数 $ y = f(x) $ 的图象如图所示, 则该函数的定义域为$\{x|-2 \leq x \leq 4$,或$5 \leq x \leq 8\}$, 值域为$\{y|-4 \leq y \leq 3\}$.

答案： [例2] [答案]
(1)$\{0,1\}$
(2)$\{x|-2 \leq x \leq 4$,或$5 \leq x \leq 8\}$ $\{y|-4 \leq y \leq 3\}$
[解析]
(1)由$x \in \{-1,0,1\}$,代入$f(x) = x^{2}$,解得$f(-1) = 1,f(0) = 0,f(1) = 1$,根据集合的互异性,函数的值域为$\{0,1\}$.
(2)根据$y = f(x)$的函数图象可看出,$f(x)$的定义域为$\{x|-2 \leq x \leq 4$,或$5 \leq x \leq 8\}$,值域为$\{y|-4 \leq y \leq 3\}$.

2. (多选)下列四种说法中, 正确的是 (ACD)

A.函数值域中的每一个数, 在定义域中都至少有一个数与之对应
B.函数的定义域和值域一定是无限集合
C.定义域和对应关系确定后, 函数的值域也就确定了
D.若函数的定义域中只含有一个元素, 则值域也只含有一个元素

答案： 跟踪训练 2. ACD

3. 已知函数 $ y = f(x) $ 的图象如图所示, 则该函数的值域是 (D)


A.$ \mathbf{R} $
B.$ \{ y|-1 \leq y \leq 1 \} $
C.$ \{ -1,1 \} $
D.$ \{ -1,0,1 \} $

答案： 3.D 由图象可知,当$x ＞ 0$时,$y = 1$,当$x = 0$时,$y = 0$,当$x ＜ 0$时,$y = - 1$,$\therefore$函数的值域是$\{-1,0,1\}$.

函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的, 它所反映的是两个量之间的对应关系, 可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律.

答案： 解析式

[例 3] 试构建一个问题情境, 使其中的变量关系可以用解析式 $ y = x(20 - x) $ 来描述.

答案： [例3] [解] 如果对x的取值范围作出限制,例如$x \in \{x|0 ＜ x ＜ 20\}$,那么可以构建如下情境:
长方形的周长为40,设一边长为x,面积为y,那么$y = x(20 - x)$.
其中,x的取值范围是$A = \{x|0 ＜ x ＜ 20\}$,y的取值范围是$B = \{y|0 ＜ y \leq 100\}$,对应关系f把每一个长方形的边长x,对应到唯一确定的面积$x(20 - x)$.

4. 试构建一个问题情境, 使其中的变量关系可以用解析式 $ y = \pi x^2 $ 来描述.

答案： 跟踪训练 4.解:设圆的面积为y,圆的半径为x,那么$y = \pi x^{2}$.如果对x的取值范围作出限制,若半径不超过4,则定义域为$\{x|0 ＜ x \leq 4\}$,值域为$\{y|0 ＜ y \leq 16\pi\}$.