《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 设$ a \in \mathbf{R} $，则$ a ＞ 4 $的一个必要条件是(A)

A.$ a ＞ 1 $
B.$ a ＜ 1 $
C.$ a ＞ 5 $
D.$ a ＜ 5 $

答案： 1.A a ＞ 4的一个必要条件对应集合应包含\{a | a ＞ 4\}，则a ＞ 1满足条件.

2. 设$ x \in \mathbf{R} $，已知命题甲：“$ x ＞ 1 $”，命题乙：“$ |x| ＞ 1 $”，则(A)

A.甲是乙的充分条件
B.甲是乙的必要条件
C.A和B都正确
D.A与B都不正确

答案： 2.A 由|x| ＞ 1，解得x ＞ 1或x ＜ -1，故“x ＞ 1”是“|x| ＞ 1”的充分条件.

3. 用“充分条件”“必要条件”填空：
(1)“$ a + b ＜ 0 $”是“$ a ＜ 0 $且$ b ＜ 0 $”的必要条件；
(2)“$ x = 2 $”是“$ x^2 - 7x + 10 = 0 $”的充分条件.

答案： 3.（1）必要条件 （2）充分条件

4. 若“$ x ＞ 1 $”是“$ x ＞ a $”的充分条件，则$ a $的取值范围是\{a | a ≤ 1\}.

答案： 4.答案：\{a | a ≤ 1\}
解析：因为x ＞ 1 ⇒ x ＞ a，所以a ≤ 1.

1. 将命题“若$ p $，则$ q $”中的条件$ p $和结论$ q $互换，就得到一个新的命题“若$ q $，则$ p $”，称这个命题为原命题的逆命题。

答案： 1.逆命题

2. 如果“若$ p $，则$ q $”和它的逆命题“若$ q $，则$ p $”均是真命题，即既有$ p\Rightarrow q $，又有$ q\Rightarrow p $，就记作$p\Leftrightarrow q$。此时$ p $既是$ q $的充分条件，也是$ q $的必要条件，我们说$ p $是$ q $的充分必要条件，简称为充要条件。显然，如果$ p $是$ q $的充要条件，那么$ q $也是$ p $的充要条件。概括地说，如果$ p\Leftrightarrow q $，那么$ p $与$ q $互为充要条件。

答案： 2.$p\Leftrightarrow q$ 充分必要条件 充要条件 充要条件 充要条件

3. 从集合的角度理解充分必要性
设非空集合$ A = \{x\mid p(x)\} $，$ B = \{x\mid q(x)\} $。
(1) 若$ A = B $，则$ p $是$ q $的充要条件(如图①)；
(2) 若$ A $不包含于$ B $且$ B $不包含于$ A $，即$ A $不是$ B $的子集，且$ B $不是$ A $的子集，则$ p $是$ q $的既不充分也不必要条件(如图②)。

答案： 3.
(1)充要条件
(2)既不充分也不必要条件

[例1]
指出下列各题中，$ p $是$ q $的什么条件？(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)
(1) $ p $：$ a $能被$ 6 $整除，$ q $：$ a $能被$ 3 $整除；
(2) $ p $：两个角都是直角，$ q $：两个角不相等；
(3) $ p $：$ A\cap B = A $，$ q $：$ \complement_{U}B\subseteq \complement_{U}A $。
[分析]
该题利用定义法或集合法求解即可。

答案： [例1] [解]
(1)$p:a$能被6整除,故也能被3和2整除,$q:a$能被3整除,故$p\Rightarrow q,q\nRightarrow p$,故$p$是$q$的充分不必要条件.
(2)$p$:两个角都是直角,则这两个角相等,$q$:两个角不相等,则这两个角一定不都是直角,即$p\nRightarrow q,q\Rightarrow p$,故$p$是$q$的既不充分也不必要条件.
(3)因为$A\cap B = A\Leftrightarrow A\subseteq B\Leftrightarrow \complement_{U}B\subseteq \complement_{U}A$,所以$p$是$q$的充要条件.