《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1.(1)若$f(x)$是一次函数,且满足$3f(x + 1) - f(x) = 2x + 9$,则$f(x) =$$x+3$；
(2)已知$f(x + 1) = x^{2} + 4x + 1$,则$f(x) =$$x²+2x−2$；
(3)若函数$f(x)$满足方程$2f(x) + f(\frac{1}{x}) = 2x$,$x \in \mathbf{R}$且$x \neq 0$,则$f(x) =$$\frac{4}{3}x−\frac{2}{3x}(x∈R且x≠0)$；
(4)已知函数$f(\sqrt{x} + 1) = x + 2\sqrt{x}$,则$f(x) =$$x²−1 (x≥1)$.

答案： 跟踪训练　1.答案:
(1)$x+3$　
(2)$x²+2x−2$
(3)$\frac{4}{3}x−\frac{2}{3x}(x∈R且x≠0)$　
(4)$x²−1 (x≥1)$
解析:
(1)设$f(x)=ax+b(a≠0)$。
由$3f(x+1)−f(x)=2x+9$，
得$3[a(x+1)+b]−(ax+b)=2x+9$，
即$2ax+3a+2b=2x+9$，
$\begin{cases}2a = 2\\3a + 2b=9\end{cases}$
解得$a=1,b=3$，
$\therefore f(x)=x+3$。
(2)设$x+1=t$，则$x=t−1$，
$f(t)=(t−1)²+4(t−1)+1$，即$f(t)=t²+2t−2$，
$\therefore f(x)=x²+2x−2$。
(3)将$x$换成$\frac{1}{x}$得$2f(\frac{1}{x})+f(x)=\frac{2}{x}(x≠0)$，
由$\begin{cases}2f(x)+f(\frac{1}{x})=2x\\2f(\frac{1}{x})+f(x)=\frac{2}{x}\end{cases}$
得$f(x)=\frac{4}{3}x−\frac{2}{3x}(x∈R且x≠0)$。
(4)法一(换元法):令$t=\sqrt{x}+1$，则$x=(t−1)²,t≥1$。
所以$f(t)=(t−1)²+2(t−1)=t²−1(t≥1)$，
所以函数的解析式为$f(x)=x²−1(x≥1)$。
法二(配凑法):$f(\sqrt{x}+1)=x + 2\sqrt{x}=x + 2\sqrt{x}+1 - 1$。
因为$\sqrt{x}+1≥1$，所以函数的解析式为$f(x)=x²−1(x≥1)$。

1.列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法.

答案： 1.列出表格

[例3] (多选)已知$f(x)$和$g(x)$的定义域为$\{ 1,2,3,4\}$,其对应关系如下表：

下列关系式中正确的是 ( )


A.$f(g(1)) ＜ f(g(2))$
B.$f(g(2)) = g(f(2))$
C.$f(g(3)) ＞ g(f(3))$
D.$f(g(4)) ＞ g(f(4))$

答案： [例3]　[答案]　CD
[解析]　$f(g(1))=f(g(2))=4$，
$g(f(1))=g(f(2))=3$，
$f(g(3))=f(g(4))=2$，
$g(f(3))=g(f(4))=1$。

[例4] 某商场新进了10台彩电,每台售价3 000元,试求售出台数$x$与收款数$y$之间的函数关系,用列表法表示出来.

答案： [例4][解]列表法:
/台　　1　　　2　　　3　　　4　　　5
/y元　3000　6000　9000　12000　15000
/x台　　6　　　7　　　8　　　9　　　10
/y元　18000　21000　24000　27000　30000

2.已知$f(x)$与$x$的对应关系由下表给出：

$f_1(x)=f(x),f_2(x)=f(f(x)),f_3(x)=f(f(f(x))),·s,f_n(x)=f(f·s f(x))$，则$f_{2024}(1)=$_______.

答案： 跟踪训练　2.答案:1
解析:$f_1(1)=3,f_2(1)=f(3)=1$，
$f_3(1)=3,f_4(1)=1$，
所以$f_{2024}(1)=1$。

3.已知函数$f(x)= -x -1,x\in\{1,2,3,4\}$，试用列表法表示函数$y = f(x)$.

答案： | x | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| y | -2 | -3 | -4 | -5 |