《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

13. 如图，在平面直角坐标系中，已知$A(a,0)$，$B(b,0)$，其中$a,b$满足$\sqrt{a + 1} + (b - 3)^{2} = 0$.
(1)填空：$a =$-1，$b =$3；
(2)若在第三象限内有一点$M( - 2,m)$，用含$m$的式子表示$\bigtriangleup ABM$的面积；
(3)在(2)的条件下，当$m = \frac{3}{2}$时，点$P$是$x$轴上的动点，当满足$\bigtriangleup PBM$的面积是$\bigtriangleup ABM$
的面积的$2.5$倍时，求点$P$的坐标.

答案：
(1)
因为$\sqrt{a + 1}+(b - 3)^{2}=0$，且$\sqrt{a + 1}\geq0$，$(b - 3)^{2}\geq0$，
所以$a + 1 = 0$，$b - 3 = 0$，
解得$a=-1$，$b = 3$。
(2)
已知$A(-1,0)$，$B(3,0)$，则$AB=3-(-1)=4$。
点$M(-2,m)$在第三象限，所以$M$到$x$轴的距离为$\vert m\vert=-m$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得${S}_{\triangle ABM}=\frac{1}{2}× AB×\vert m\vert=\frac{1}{2}×4×(-m)= - 2m$。
(3)
当$m = \frac{3}{2}$时，${S}_{\triangle ABM}=-2×\frac{3}{2}=-3$（绝对值为$3$）。
因为${S}_{\triangle PBM}$是${S}_{\triangle ABM}$的$2.5$倍，所以${S}_{\triangle PBM}=2.5×3 = 7.5$。
已知$M(-2,\frac{3}{2})$，$B(3,0)$，设$P(x,0)$。
${S}_{\triangle PBM}=\frac{1}{2}×\vert x - 3\vert×\frac{3}{2}=7.5$，
则$\vert x - 3\vert×\frac{3}{4}=7.5$，
$\vert x - 3\vert = 10$。
当$x - 3 = 10$时，$x = 13$；
当$x - 3=-10$时，$x=-7$。
所以点$P$的坐标为$(-7,0)$或$(13,0)$。