《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

7. 如图，已知$AB = AE$，$\angle 1 = \angle 2$，$\angle B = \angle E$. 求证：$BC = ED$.

答案： 证明：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即∠BAC=∠EAD。
在△ABC和△AED中，
∠BAC=∠EAD，
AB=AE，
∠B=∠E，
∴△ABC≌△AED（ASA）。
∴BC=ED。

8. 如图，在$ Rt \triangle ABC$ 中，$\angle ABC = 90°$，点$D$在$BC$的延长线上，且$BD = AB$.过点$B$作$BE \bot AC$，与$BD$的垂线$DE$交于点$E$.
(1) 求证：$\triangle ABC \cong \triangle BDE$；
(2) 请找出线段$AB$，$DE$，$CD$之间的数量关系，并说明理由.

答案：
(1) 证明：
∵∠ABC=90°，DE⊥BD，
∴∠ABC=∠BDE=90°．
∵BE⊥AC，设BE交AC于点F，则∠AFB=90°，
∴∠A+∠ABF=90°．
又∠ABC=90°，
∴∠ABF+∠EBD=90°，
∴∠A=∠EBD（同角的余角相等）．
在△ABC和△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠A=∠EBD,\\ AB=BD,\\ ∠ABC=∠BDE,\end{array}\right.$
∴△ABC≌△BDE（ASA）．
(2) AB=DE+CD．
理由：
∵△ABC≌△BDE，
∴BC=DE．
∵BD=AB，且BD=BC+CD，
∴AB=BC+CD=DE+CD．

9. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle BAC = 90°$，$CD$平分$\angle ACB$，$BE \bot CD$，垂足$E$在$CD$的延长线上.求证：$CD = 2BE$.

答案： 延长BE交CA的延长线于点F.
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠FEC=90°.
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCE=∠FCE.
在△BCE和△FCE中，
∠BCE=∠FCE，
CE=CE，
∠BEC=∠FEC，
∴△BCE≌△FCE(ASA).
∴BE=FE，
∴BF=2BE.
∵∠BAC=90°，∠BEC=90°，
∠ADC=∠EDB，
∴∠ACD+∠ADC=90°，∠ABF+∠EDB=90°，
∴∠ACD=∠ABF.
在△ACD和△ABF中，
∠ACD=∠ABF，
AC=AB，
∠CAD=∠BAF=90°，
∴△ACD≌△ABF(ASA).
∴CD=BF.
∵BF=2BE，
∴CD=2BE.