《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

12. 如图，在$\bigtriangleup ABC$中，$AB = AC$，点$D$是边$AB$上一点，$\angle BCD = \angle A$.
(1) 求证：$CD = CB$；
(2) 过点$B$作$BE\bot AC$于点$E$，求证：$\angle BCD = 2\angle CBE$.

答案：
(1)
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（等腰三角形两底角相等）。设∠A=α，则∠BCD=α（已知）。
在△ABC中，∠ABC=∠ACB=(180°-α)/2（三角形内角和定理）。
∵∠ACB=∠ACD+∠BCD，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=(180°-α)/2 - α=(180°-3α)/2。
在△ADC中，∠ADC=180°-∠A-∠ACD=180°-α-(180°-3α)/2=90°+α/2（三角形内角和定理）。
∵∠ADC+∠CDB=180°（平角定义），
∴∠CDB=180°-(90°+α/2)=90°-α/2。
又∠CBD=∠ABC=(180°-α)/2=90°-α/2，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CD=CB（等角对等边）。
(2)
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°（垂直定义）。
在△BEC中，∠CBE+∠ACB=90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠CBE=90°-∠ACB。
∵∠ACB=(180°-α)/2，
∴∠CBE=90°-(180°-α)/2=α/2。
∵∠BCD=α，
∴∠BCD=2∠CBE。