《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

7. 在$\triangle ABC$中，
（1）如图 $1$，$AC = 15$，$AD = 9$，$CD = 12$，$BC = 20$，求$\triangle ABC$的面积；
（2）如图 $2$，$AC = 13$，$BC = 20$，$AB = 11$，求$\triangle ABC$的面积.

答案： （1）150；（2）66。

8. 如图，$CD$ 是$ Rt\triangle ABC$斜边 $AB$ 上的高，且 $BC = a$，$AB = c$，$CD = h$，$AD = q$，$DB = p$. 求证：
（1）$h^2 = p · q$；
（2）$a^2 = p · c$.

答案： （1）
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°，∠ACB=90°．
∵∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B．
在△ACD和△CBD中，∠ADC=∠CDB=90°，∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△CBD．
∴AD/CD=CD/BD，即q/h=h/p．
∴h²=pq．
（2）在△ABC和△CBD中，∠B=∠B，∠ACB=∠CDB=90°，
∴△ABC∽△CBD．
∴BC/AB=BD/BC，即a/c=p/a．
∴a²=pc．

9. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$.
（1）若 $P$ 是 $BC$ 边上的中点，连接 $AP$，求证：$BP · CP = AB^2 - AP^2$；
（2）若 $P$ 是 $BC$ 边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由.

答案： （1）证明：
∵AB=AC，P是BC中点，
∴AP⊥BC（三线合一），BP=CP。
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB²=AP²+BP²，
∴BP²=AB²-AP²。
∵BP=CP，
∴BP·CP=BP²=AB²-AP²。
（2）成立。
证明：过A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，
∴BD=DC（三线合一）。
设BD=DC=m，PD=n，
在Rt△ABD中：AB²=AD²+m²；
在Rt△APD中：AP²=AD²+n²。
∴AB²-AP²=(AD²+m²)-(AD²+n²)=m²-n²。
∵BP=|m-n|，CP=|m+n|（P在BC上任意位置），
∴BP·CP=(m-n)(m+n)=m²-n²。
故BP·CP=AB²-AP²。