《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

6. 如图，$OG$平分$\angle MON$，点$A$是$OM$边上一点，过点$A$作$AB \perp OG$于点$B$，$C$为线段$OA$中点，连结$BC$. 求证：$BC // ON$.

答案： 证明：
∵AB⊥OG，
∴∠ABO=90°，即△ABO为直角三角形。
∵C为OA中点，
∴BC为Rt△ABO斜边上的中线。
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得BC=OC。
∴△BOC中，BC=OC，
∴∠CBO=∠COB（等边对等角）。
∵OG平分∠MON，
∴∠COB=∠NOG（角平分线定义）。
∴∠CBO=∠NOG（等量代换）。
∵∠CBO与∠NOG是直线BC、ON被直线OG所截得的内错角，
∴BC//ON（内错角相等，两直线平行）。

7. 如图，在四边形$ABCD$中，$\angle ABC = \angle ADC = 90^{\circ}$，$M$，$N$分别是$AC$，$BD$的中点. 求证：
(1) $MD = MB$；
(2) $MN \perp BD$.

答案：
(1)
在$Rt\triangle ADC$中，$\angle ADC = 90^{\circ}$，$M$是$AC$的中点，
根据直角三角形斜边中线定理，斜边中线等于斜边的一半，
所以$MD=\frac{1}{2}AC$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$M$是$AC$的中点，
同理可得$MB = \frac{1}{2}AC$。
所以$MD = MB$。
(2)
由
(1)知$MD = MB$，
因为$N$是$BD$的中点，
在等腰三角形$MBD$中，根据等腰三角形三线合一的性质，
所以$MN\perp BD$。

8. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD$是斜边$AB$上的中线，过点$A$作$AE \perp CD$于点$F$，交$CB$于点$E$，且$\angle EAB = \angle DCB$.
(1) 求$\angle B$的度数；
(2) 求证：$BC = 3CE$.

答案：
(1)设∠B=x，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-x．
∵CD是斜边AB中线，
∴AD=BD=CD，
∴∠DCB=∠B=x（CD=BD），∠ACD=∠CAB=90°-x（CD=AD）．
∵∠EAB=∠DCB，
∴∠EAB=x，
∴∠CAE=∠CAB-∠EAB=(90°-x)-x=90°-2x．
∵AE⊥CD，
∴∠AFC=90°，
在Rt△AFC中，∠CAE+∠ACD=90°，
即(90°-2x)+(90°-x)=90°，
解得x=30°，
∴∠B=30°．
(2)设AC=a，
在Rt△ABC中，∠B=30°，
∴AB=2AC=2a，BC=√(AB²-AC²)=√3 a．
∵∠CAE=90°-2x=30°（x=30°），
在Rt△ACE中，∠CAE=30°，∠ACE=90°，
∴CE=AC·tan30°=a·(√3/3)=√3 a/3，
∴BC=√3 a=3×(√3 a/3)=3CE．
(1)∠B=30°；
(2)证明见上。