《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

12. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\angle A=30^{\circ}$，$BD$平分$\angle ABC$交$AC$于点$D$，$BC=\sqrt{3}$.求$\triangle ABD$的面积.

答案： 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\angle A=30^{\circ}$，$BC=\sqrt{3}$，$BD$平分$\angle ABC$交$AC$于点$D$。
1. 求$\angle ABC$的度数：
$\angle ABC=180^{\circ}-\angle A-\angle C=180^{\circ}-30^{\circ}-90^{\circ}=60^{\circ}$。
2. 求$AB$的长度：
$\angle A=30^{\circ}$，其对边$BC=\frac{1}{2}AB$，则$AB=2BC=2\sqrt{3}$。
3. 求$AC$的长度：
由勾股定理，$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，
$AC^{2}=(2\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{3})^{2}=12-3=9$，故$AC=3$。
4. 求$DC$的长度：
$BD$平分$\angle ABC$，则$\angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC=30^{\circ}$。
在$Rt\triangle DBC$中，$\angle DBC=30^{\circ}$，其对边$DC=\frac{1}{2}BD$。设$DC=x$，则$BD=2x$。
由勾股定理，$DC^{2}+BC^{2}=BD^{2}$，即$x^{2}+(\sqrt{3})^{2}=(2x)^{2}$，
解得$x^{2}=1$，$x=1$（舍负），故$DC=1$。
5. 求$AD$的长度：
$AD=AC-DC=3-1=2$。
6. 求$\triangle ABD$的面积：
$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}× AD× BC=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
$\sqrt{3}$

13. 如图，$\triangle ACB$和$\triangle ECD$都是等腰直角三角形，$\angle ACB=\angle ECD=90^{\circ}$，$D$为$AB$边上一点.
(1)求证：$\triangle ACE \cong \triangle BCD$；
(2)若$AD=5$，$BD=12$，求$DE$的长；
(3)求证：$AD^{2}+DB^{2}=2CD^{2}$.

答案：
(1)证明：
∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，
∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=90°．
∵∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，∠ECD=∠ACD+∠ACE=90°，
∴∠ACE=∠BCD．
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=BC\\ ∠ACE=∠BCD\\ EC=DC\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS）．
(2)由
(1)知△ACE≌△BCD，
∴AE=BD=12，∠CAE=∠B．
∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠CAB=∠B=45°，
∴∠CAE=45°．
∴∠EAD=∠CAB+∠CAE=45°+45°=90°．
在Rt△EAD中，AD=5，AE=12，
∴DE=$\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$．
(3)证明：由
(1)知AE=BD，∠CAE=∠B=45°，
∴∠EAD=∠CAB+∠CAE=90°．
在Rt△EAD中，AD²+AE²=DE²，即AD²+BD²=DE²．
∵△ECD是等腰直角三角形，∠ECD=90°，
∴DE²=EC²+DC²=2CD²（EC=DC）．
∴AD²+DB²=2CD²．