《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

9. 如图，在$\triangle ABC$中，$CF \perp AB$，垂足为$F$，$M$为$BC$的中点，$E$为$AC$上一点，且$ME = MF$.
(1) 求证：$BE \perp AC$；
(2) 若$\angle A = 50^{\circ}$，求$\angle FME$的度数.

答案：
(1)
∵CF⊥AB，
∴∠CFB=90°，△CFB为直角三角形。
∵M为BC中点，
∴MF=1/2BC（直角三角形斜边上的中线等于斜边一半）。
∵ME=MF，
∴ME=1/2BC。
在△BEC中，M为BC中点且ME=1/2BC，
∴△BEC为直角三角形（一边中线等于这边一半的三角形是直角三角形），
∴∠BEC=90°，即BE⊥AC。
(2)
∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°。
由
(1)知MF=BM=MC=ME，
∴△BMF和△CME为等腰三角形。
设∠ABC=∠MFB=x，∠ACB=∠MEC=y，则x+y=130°。
在△BMF中，∠FMB=180°-2x；在△CME中，∠EMC=180°-2y。
∵∠FMB+∠FME+∠EMC=180°（平角定义），
∴∠FME=180°-(180°-2x)-(180°-2y)=2(x+y)-180°=2×130°-180°=80°。
(1) 得证；
(2) 80°。

10. 如图1，在锐角三角形$ABC$中，$CD$，$BE$分别是$AB$，$AC$边上的高，$M$，$N$分别是线段$BC$，$DE$的中点.
(1) 求证：$MN \perp DE$.
(2) 连接$DM$，$ME$，猜想$\angle A$与$\angle DME$之间的关系，并证明你的猜想.
(3) 当$\angle BAC$变为钝角时，如图2，上述(1)(2)中的结论是否都成立？若成立，直接回答，不需证明；若不成立，请说明理由.
图1
图2

答案：
(1) 连接DM，EM。
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC=∠BEC=90°。
∵M是BC中点，
∴在Rt△BDC中，DM=1/2BC；在Rt△BEC中，EM=1/2BC。
∴DM=EM，△DME为等腰三角形。
∵N是DE中点，
∴MN⊥DE（等腰三角形三线合一）。
(2) ∠DME=180°-∠A。
证明：
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠AEB=90°。
在四边形ADME中，∠A+∠ADE+∠DME+∠AED=360°。
∵∠ADE=∠AED=90°，
∴∠A+90°+∠DME+90°=360°，
∴∠DME=180°-∠A。
(3)
(1)
(2)中的结论都成立。