《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

10. 在平面直角坐标系中，已知点$A$的坐标为$(3m - 1,2m + 6)$，请解决下面问题.
(1)点$B$的坐标为$( - 3,4)$，直线$AB// y$轴，求$m$的值；
(2)若点$A$在第二象限，且它到$x$轴、$y$轴的距离相等，求点$A$的坐标.

答案：
(1)因为直线$AB// y$轴，所以点$A$与点$B$的横坐标相等。已知点$B$的坐标为$(-3,4)$，点$A$的坐标为$(3m - 1,2m + 6)$，则$3m - 1=-3$，解得$m=-\dfrac{2}{3}$。
(2)因为点$A$在第二象限，所以横坐标小于$0$，纵坐标大于$0$，即$\begin{cases}3m - 1＜0\\2m + 6＞0\end{cases}$。又因为点$A$到$x$轴、$y$轴的距离相等，所以$|3m - 1|=|2m + 6|$。由于$3m - 1＜0$，$2m + 6＞0$，所以$-(3m - 1)=2m + 6$，即$-3m + 1=2m + 6$，解得$m=-1$。将$m=-1$代入点$A$的坐标，得$3×(-1)-1=-4$，$2×(-1)+6=4$，所以点$A$的坐标为$(-4,4)$。
(1)$m=-\dfrac{2}{3}$；
(2)$(-4,4)$

11. 已知点$P(a - 1,6 + 2a)$，解决下列各题：
(1)若点$P$在$x$轴上，则点$P$的坐标为$(-4,0)$；
(2)若点$Q(5,8)$，且$PQ// y$轴，求点$P$的坐标；
(3)若点$P$在第二象限，且它到$x$轴的距离是到$y$轴的距离的$2$倍，求$a^{2023} + 2024$的值.

答案：
(1)
因为点$P(a - 1,6 + 2a)$在$x$轴上，所以纵坐标为$0$，即$6 + 2a = 0$，解得$a = - 3$。
则$a - 1=-3 - 1=-4$，所以点$P$的坐标为$( - 4,0)$。
(2)
因为$PQ// y$轴，所以点$P$与点$Q$的横坐标相等，即$a - 1 = 5$，解得$a = 6$。
则$6 + 2a=6 + 2×6 = 18$，所以点$P$的坐标为$(5,18)$。
(3)
因为点$P(a - 1,6 + 2a)$在第二象限，所以$\begin{cases}a - 1\lt 0 \\6 + 2a\gt 0 \end{cases}$。
又因为点$P$到$x$轴的距离是到$y$轴的距离的$2$倍，所以$6 + 2a = 2×|a - 1|$，因为点$P$在第二象限，$a - 1\lt0$，则$6 + 2a = 2×(1 - a)$，
$6 + 2a = 2 - 2a$，
$4a = - 4$，
$a = - 1$。
把$a = - 1$代入$a^{2023}+2024$得：$( - 1)^{2023}+2024=-1 + 2024 = 2023$。
综上，答案依次为：
(1)$( - 4,0)$；
(2)$(5,18)$；
(3)$2023$。

12. 平面直角坐标系内有点$A(5,1)$，$B( - 1,3)$，点$P$在$y$轴上，且$\bigtriangleup PAB$是以$AB$为底边的等腰三角形，求点$P$的坐标.

答案： 设点P的坐标为(0, y)，因为点P在y轴上。
∵△PAB是以AB为底边的等腰三角形，
∴PA=PB。
由两点间距离公式，PA=√[(5-0)²+(1-y)²]=√[25+(1-y)²]，PB=√[(-1-0)²+(3-y)²]=√[1+(3-y)²]。
∵PA=PB，
∴PA²=PB²，即25+(1-y)²=1+(3-y)²。
展开得：25+1-2y+y²=1+9-6y+y²。
化简得：26-2y=10-6y。
移项合并得：4y=-16，解得y=-4。
∴点P的坐标为(0, -4)。