《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

12. 已知点$P(2m + 4,m - 1)$，分别根据下列条件求出点$P$的坐标.
(1)点$P$在$x$轴上；
(2)点$P$的纵坐标比横坐标大$3$.

答案：
(1)
因为点$P(2m + 4,m - 1)$在$x$轴上，所以纵坐标为$0$，即$m - 1 = 0$，解得$m = 1$。
把$m = 1$代入横坐标$2m + 4$，得$2×1+4 = 6$。
所以点$P$的坐标为$(6,0)$。
(2)
因为点$P$的纵坐标比横坐标大$3$，所以$m - 1=(2m + 4)+3$。
即$m - 1 = 2m+7$，移项可得$m - 2m=7 + 1$，解得$m=-8$。
把$m = - 8$代入横坐标$2m + 4$，得$2×(-8)+4=-12$。
把$m = - 8$代入纵坐标$m - 1$，得$-8 - 1=-9$。
所以点$P$的坐标为$(-12,-9)$。

13. 如图，平面直角坐标系中小方格的边长为$1$.
(1)分别写出$A$，$B$，$C$三点的坐标；
(2)求$\triangle ABC$的面积.

答案：
(1)A(2,-1)，B(4,2)，C(1,2)。
(2)过点A作AD⊥BC于点D，BC=4-1=3，AD=2-(-1)=3，S_△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×AD=$\frac{1}{2}$×3×3=$\frac{9}{2}$。

14. 如图，$A(-1,0)$，$C(1,4)$，点$B$在$x$轴上，且$AB = 3$.
(1)求点$B$的坐标；
(2)求$\triangle ABC$的面积；
(3)在$y$轴上是否存在点$P$，使以$A$，$B$，$P$三点为顶点的三角形的面积为$10$？若存在，请直接写出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.

答案：
(1) 已知点 $A(-1,0)$，点 $B$ 在 $x$ 轴上，设 $B(x,0)$。
由 $AB = 3$，得 $|x - (-1)| = 3$，即 $|x + 1| = 3$。
解得 $x = 2$ 或 $x = -4$。
所以点 $B$ 的坐标为 $(2,0)$ 或 $(-4,0)$。
(2) 已知 $C(1,4)$，当 $B(2,0)$ 时，
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × AB × y_C = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$；
当 $B(-4,0)$ 时，
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × AB × y_C = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$。
所以 $\triangle ABC$ 的面积为 $6$。
(3) 存在。
设点 $P$ 的坐标为 $(0,y)$。
当 $B(2,0)$ 时，$AB = 3$，
$S_{\triangle ABP} = \frac{1}{2} × |y| × AB = \frac{1}{2} × |y| × 3 = 10$，
解得 $y = \pm \frac{20}{3}$。
当 $B(-4,0)$ 时，$AB = 3$，
$S_{\triangle ABP} = \frac{1}{2} × |y| × AB = \frac{1}{2} × |y| × 3 = 10$，
解得 $y = \pm \frac{20}{3}$。
所以点 $P$ 的坐标为 $(0,\frac{20}{3})$ 或 $(0,-\frac{20}{3})$。