《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

7. 如图，在△ABC 和△ADE 中，BC=DE，∠B=∠D，∠1=∠2. 求证：AB=AD.

答案： 证明：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE。
在△ABC和△ADE中，
∠B=∠D，
∠BAC=∠DAE，
BC=DE，
∴△ABC≌△ADE（AAS）。
∴AB=AD。

8. 如图，在△ABC 中，∠BAC = 90°，AB=AC，直线 m 经过点 A，BD⊥直线 m，CE⊥直线 m，垂足分别为 D，E.
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）若 BD=2 cm，CE=4 cm，求 DE 的长.

答案： （1）证明：
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°.
∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠ADB=∠CEA=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠CAE.
在△ABD和△CAE中，
$\begin{cases} ∠ADB=∠CEA \\∠ABD=∠CAE \\AB=AC \end{cases}$
∴△ABD≌△CAE（AAS）.
（2）
∵△ABD≌△CAE，
∴AD=CE=4 cm，AE=BD=2 cm，
∴DE=AD+AE=4+2=6 cm.

9. 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB 于点 E，点 F 在边 AC 上.
（1）求证：AC=AE；
（2）若 AC=8，AB=10，且△ABC 的面积等于 24，求 DE 的长.

答案： （1）证明：
∵∠CAD=∠BAD，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE（角平分线上的点到角两边距离相等）。
在Rt△ACD和Rt△AED中，
$\left\{\begin{array}{l} AD=AD\\ CD=DE\end{array}\right.$
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE。
（2）解：
∵AC=8，AB=10，AC=AE，
∴BE=AB-AE=10-8=2。
设DE=CD=x，
∵S△ABC=S△ACD+S△ABD，
∴$\frac{1}{2}AC· CD + \frac{1}{2}AB· DE = 24$，
即$\frac{1}{2}×8x + \frac{1}{2}×10x = 24$，
$4x + 5x = 24$，
$9x = 24$，
$x = \frac{8}{3}$。
∴DE的长为$\frac{8}{3}$。