《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

13. 定义:可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数,整数可以看作分母为$1$的有理数;反之为无理数.如$\sqrt{2}$不能表示为两个互质的整数的商,所以$\sqrt{2}$是无理数.
可以这样证明：
设$\sqrt{2} = \frac{a}{b}$,$a$与$b$是互质的两个整数，且$b \neq 0$，
则$2 = \frac{a^{2}}{b^{2}}$,$a^{2} = 2b^{2}$，
因为$b$是整数且不为$0$，
所以$a$是不为$0$的偶数.
设$a = 2n$($n$是整数)，
所以$b^{2} = 2n^{2}$.
所以$b$也是偶数，与$a$,$b$是互质的两个整数矛盾.
所以$\sqrt{2}$是无理数.
仔细阅读上文，请证明:$\sqrt{5}$是无理数.

答案： 设$\sqrt{5} = \frac{a}{b}$，其中$a$与$b$是互质的两个整数，且$b \neq 0$。
则$5 = \frac{a^{2}}{b^{2}}$，即$a^{2} = 5b^{2}$。
因为$b$是整数且不为$0$，所以$a^{2}$是$5$的倍数，故$a$也是$5$的倍数（若$a$不为$5$的倍数，则$a^{2}$也不为$5$的倍数）。
设$a = 5n$（$n$是整数），代入得：
$(5n)^{2} = 5b^{2}$，
$25n^{2} = 5b^{2}$，
$b^{2} = 5n^{2}$。
同理，$b^{2}$是$5$的倍数，故$b$也是$5$的倍数。
这与$a$与$b$互质矛盾。
因此，$\sqrt{5}$是无理数。