《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

6. 如图，$BD$ 是$\angle ABC$ 的平分线，$AB = BC$，点 $P$ 在 $BD$ 上，$PM\bot AD$，$PN\bot CD$，垂足分别是 $M$，$N$. 求证：$PM = PN$.

答案： 证明：
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD。
在△ABD和△CBD中，
$\begin{cases}AB=BC, \\∠ABD=∠CBD, \\BD=BD,\end{cases}$
∴△ABD≌△CBD（SAS）。
∴∠ADB=∠CDB。
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
结论：PM=PN。

7. 如图，在$\triangle ABC$ 中，$AB = 9$，$BC = 11$，$BD$ 平分$\angle ABC$ 交 $AC$ 于点 $D$，$DE\bot AB$ 于点 $E$，$DF\bot BC$ 于点 $F$，若 $S_{\triangle ABC} = 40$，求 $DE$ 的长.

答案： $ \because BD$ 平分 $\angle ABC$，$DE \perp AB$，$DF \perp BC$，
$\therefore DE = DF$，
$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle BCD} $
$ = \frac{1}{2} × AB × DE + \frac{1}{2} × BC × DF$
$ \because AB = 9$，$BC = 11$，
$S_{\triangle ABC} = 40$，
$\therefore \frac{1}{2} × 9 × DE + \frac{1}{2} × 11 × DF = 40$，
又因为$DE = DF$，
$\therefore \frac{1}{2} × 9 × DE + \frac{1}{2} × 11 × DE = 40$，
即$\frac{1}{2} × (9 + 11) × DE = 40$，
$\frac{1}{2} × 20 × DE = 40$，
$10 × DE = 40$，
$DE = 4$。
综上，$DE$的长度为$4$。

8. 如图，已知$\triangle ABC$ 的周长是 $20$，$BO$，$CO$ 分别平分$\angle ABC$ 和$\angle ACB$，$OD\bot BC$ 于点 $D$，且 $OD = 3$，求$\triangle ABC$ 的面积.

答案： 过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F。
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE=OD=3。
同理，OF=OD=3。
∵△ABC的周长是20，
∴AB+BC+AC=20。
S_△ABC=S_△ABO+S_△BCO+S_△ACO
=1/2·AB·OE+1/2·BC·OD+1/2·AC·OF
=1/2·AB·3+1/2·BC·3+1/2·AC·3
=3/2(AB+BC+AC)
=3/2×20=30。
答：△ABC的面积为30。