《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

12. 求下列各式的值:
(1) $\sqrt[3]{125}$;
(2) $\sqrt[3]{(-8)^{3}}$;
(3) $(\sqrt[3]{0.001})^{3}$;
(4) $-(\sqrt[3]{64})^{2}$.

答案：
(1)
因为$5^3 = 125$，所以$\sqrt[3]{125}=5$。
(2)
$\sqrt[3]{(-8)^{3}}=-8$。
(3)
因为$0.1^3 = 0.001$，所以$\sqrt[3]{0.001}=0.1$，则$(\sqrt[3]{0.001})^{3}=(0.1)^{3}=0.001$。
(4)
因为$4^3 = 64$，所以$\sqrt[3]{64}=4$，则$-(\sqrt[3]{64})^{2}=-4^{2}=-16$。

13. 求下列各式中 $x$ 的值：
(1) $x^{3} = -64$;
(2) $8x^{3} - 125 = 0$;
(3) $2(x - 2)^{3} = 16$;
(4) $4(3x + 2)^{2} - 9 = 0$.

答案：
(1)
因为$x^3=-64$，根据立方根的定义，若$x^3=a$，则$x=\sqrt[3]{a}$，
所以$x = \sqrt[3]{-64}=-4$。
(2)
由$8x^3 - 125 = 0$，移项可得$8x^3=125$，
两边同时除以$8$得$x^3=\frac{125}{8}$，
根据立方根的定义，$x=\sqrt[3]{\frac{125}{8}}=\frac{5}{2}$。
(3)
由$2(x - 2)^3 = 16$，两边同时除以$2$得$(x - 2)^3 = 8$，
根据立方根的定义，$x - 2=\sqrt[3]{8}=2$，
移项可得$x=2 + 2=4$。
(4)
由$4(3x + 2)^3 - 9 = 0$（原题应该是$(3x + 2)^3$相关推导有误，应该是$(3x+2)^2$相关，下面按正确$(3x + 2)^2$计算），
由$4(3x + 2)^{2}-9 = 0$，移项可得$4(3x + 2)^{2}=9$，
两边同时除以$4$得$(3x + 2)^{2}=\frac{9}{4}$，
根据平方根的定义，若$x^2=a$，则$x=\pm\sqrt{a}$，
所以$3x + 2=\pm\sqrt{\frac{9}{4}}=\pm\frac{3}{2}$。
当$3x + 2=\frac{3}{2}$时，移项可得$3x=\frac{3}{2}-2=-\frac{1}{2}$，解得$x=-\frac{1}{6}$；
当$3x + 2=-\frac{3}{2}$时，移项可得$3x=-\frac{3}{2}-2=-\frac{7}{2}$，解得$x=-\frac{7}{6}$。
综上，答案依次为：
(1)$x = - 4$；
(2)$x=\frac{5}{2}$；
(3)$x = 4$；
(4)$x=-\frac{1}{6}$或$x=-\frac{7}{6}$。

14. 如图，一个正方体铁块放入圆柱形玻璃容器后，完全没入容器内水中，使容器中的水面升高 $2\ cm$，如果容器的底面直径是 $12\ cm$，求正方体铁块的棱长($\pi$ 取 $3$).

答案： 设正方体铁块的棱长为 $a$ cm。
圆柱形容器的底面半径为 $r = \frac{12}{2} = 6(cm)$。
根据题意，正方体铁块放入水中后，水面升高了 $2$ cm，所以水升高的体积 $V$ 等于正方体铁块的体积。
水升高的体积 $V$ 可以用圆柱体的体积公式计算：
$V = \pi r^{2} h = 3 × 6^{2} × 2 = 3 × 36 × 2 = 216 (cm^{3})$。
正方体铁块的体积为 $a^{3} = 216(cm^3)$。
解得 $a = \sqrt[3]{216} = 6(cm)$。
故正方体铁块的棱长为 $6$ cm。

15. 已知 $\sqrt{x + 2} + |y - 3| = 0$ 且 $\sqrt[3]{2 - 3z}$ 与 $\sqrt[3]{4z - 3}$ 互为相反数，求 $yz - x$ 的平方根.

答案： 由 $\sqrt{x + 2} + |y - 3| = 0$，
因为 $\sqrt{x + 2} \geq 0$ 且 $|y - 3| \geq 0$，
所以 $x + 2 = 0$ 且 $y - 3 = 0$，
解得 $x = -2$，$y = 3$。
由 $\sqrt[3]{2 - 3z}$ 与 $\sqrt[3]{4z - 3}$ 互为相反数，
得 $2 - 3z = -(4z - 3)$，
即 $2 - 3z + 4z - 3 = 0$，
解得 $z = 1$。
将 $x = -2$，$y = 3$，$z = 1$ 代入 $yz - x$，
得 $yz - x = 3 × 1 - (-2) = 5$。
所以 $yz - x$ 的平方根为 $\pm \sqrt{5}$。