《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

10. 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC = 90°$，$AB = AC$，$D,E$ 两点在直线 $BC$ 上(点 $D$ 在点 $E$ 的左侧). 若 $BD = CE$，$\angle BAD = 15°$，求证：$\triangle ADE$ 是等边三角形.

答案：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=∠ACB=45°。
在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC，∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）。
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE=15°。
∵∠BAC=90°，
∴∠DAE=∠BAC - ∠BAD - ∠CAE=90° - 15° - 15°=60°。
∵AD=AE且∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形。

11. 如图，$\triangle ABC$ 为等边三角形，点 $M$ 是线段 $BC$ 上任意一点，点 $N$ 是线段 $CA$ 上任意一点，且 $BM = CN$，$BN$ 与 $AM$ 相交于点 $Q$.
(1) 求证：$AM = BN$；
(2) 求 $\angle BQM$ 的度数.

答案：
(1)
因为$\triangle ABC$是等边三角形，
所以$AB = BC$，$\angle ABC=\angle BCA = 60^{\circ}$。
在$\triangle ABM$和$\triangle BCN$中，
$\begin{cases}AB = BC\\\angle ABM=\angle BCN\\BM = CN\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）判定定理，可得$\triangle ABM\cong\triangle BCN$。
所以$AM = BN$。
(2)
由$\triangle ABM\cong\triangle BCN$，可得$\angle BAM=\angle CBN$。
在$\triangle ABQ$中，$\angle BQM=\angle BAM+\angle ABQ$，
将$\angle BAM=\angle CBN$代入上式得，$\angle BQM=\angle CBN+\angle ABQ$。
因为$\angle CBN+\angle ABQ=\angle ABC = 60^{\circ}$，
所以$\angle BQM = 60^{\circ}$。
综上，
(1)得证$AM = BN$；
(2)$\angle BQM$的度数为$60^{\circ}$。