《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

10. 如图，直线$l_1:y_1 = kx + b$与$y$轴交于点$A$，与$x$轴交于点$B(\frac{3}{2}, 0)$，直线$l_2:y_2 = -\frac{1}{2}x + 2$与$y$轴交于点$C$，与直线$l_1$交于点$D$，点$D$到$y$轴的距离为$2$。
(1) 求直线$l_1$的函数表达式；
(2) 请直接写出方程组$\begin{cases}kx - y = -b\\x + 2y = 4\end{cases}$的解：$\boldsymbol{$ ______ $}$；
(3) 求$\triangle ACD$的面积；
(4) 在直线$l_1$上是否存在异于点$D$的另一点$M$，使得$\triangle ACD$与$\triangle ACM$的面积相等？若存在，请求出点$M$的坐标；若不存在，请说明理由。

答案：
(1)
点$D$到$y$轴的距离为$2$，所以点$D$的横坐标为$2$，
把$x = 2$代入$y_{2}=-\frac{1}{2}x + 2$，得$y_{2}=-\frac{1}{2}×2 + 2=1$，则$D(2,1)$。
把$B(\frac{3}{2},0)$，$D(2,1)$代入$y_{1}=kx + b$，
得$\begin{cases}\frac{3}{2}k + b = 0\\2k + b = 1\end{cases}$，
两式相减得：$2k + b-(\frac{3}{2}k + b)=1 - 0$，
$2k + b-\frac{3}{2}k - b = 1$，$\frac{1}{2}k = 1$，解得$k = 2$。
把$k = 2$代入$\frac{3}{2}k + b = 0$，得$\frac{3}{2}×2 + b = 0$，$3 + b = 0$，$b = - 3$。
所以直线$l_1$的函数表达式为$y = 2x - 3$。
(2)
方程组$\begin{cases}kx - y = -b\\x + 2y = 4\end{cases}$，由$y = kx + b$变形为$kx - y=-b$，
所以方程组$\begin{cases}kx - y = -b\\x + 2y = 4\end{cases}$的解就是直线$l_1:y = kx + b$与直线$l_2}:y = -\frac{1}{2}x + 2$的交点$D$的坐标。
已知$D(2,1)$，所以方程组的解为$\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$。
(3)
在$y = 2x - 3$中，令$x = 0$，得$y=-3$，所以$A(0,-3)$。
在$y = -\frac{1}{2}x + 2$中，令$x = 0$，得$y = 2$，所以$C(0,2)$。
则$AC=2-(-3)=5$，
点$D$到$y$轴的距离为$2$，即$\triangle ACD$中$AC$边上的高为$2$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，
得$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}×5×2 = 5$。
(4)
存在。
设$M(x,2x - 3)$，
已知$S_{\triangle ACD}=5$，$AC = 5$，
因为$\triangle ACD$与$\triangle ACM$的面积相等，
所以$\frac{1}{2}× AC×|x| = 5$，
即$\frac{1}{2}×5×|x| = 5$，
$|x| = 2$，
解得$x = 2$或$x=-2$。
因为$M$异于点$D$，
所以当$x=-2$时，$y = 2×(-2)-3=-7$，
所以$M(-2,-7)$。
综上，答案依次为：
(1)$y = 2x - 3$；
(2)$\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$；
(3)$5$；
(4)存在，$M(-2,-7)$。

11. 如图，直线$l_1:y = 2x + 1$与直线$l_2:y = mx + 4$相交于点$P(1, b)$，与$x$轴分别交于$A$，$B$两点。
(1) 求$b$，$m$的值，并结合图象写出关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}2x - y = 1\\mx - y = -4\end{cases}$的解；
(2) 垂直于$x$轴的直线$x = a$与直线$l_1$，$l_2$分别交于点$C$，$D$，若线段$CD$的长为$2$，求$a$的值。

答案：
(1) 因为点$P(1,b)$在直线$l_1:y=2x+1$上，将$x=1$代入得$b=2×1 + 1=3$。
点$P(1,3)$在直线$l_2:y=mx+4$上，代入得$3=m×1 + 4$，解得$m=-1$。
方程组$\begin{cases}2x - y = 1\\mx - y = -4\end{cases}$的解为两直线交点坐标，即$\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}$。
(2) 直线$x=a$与$l_1$交于点$C(a,2a+1)$，与$l_2:y=-x+4$交于点$D(a,-a+4)$。
$CD=|(2a+1)-(-a+4)|=|3a - 3|=2$，
则$3a - 3=2$或$3a - 3=-2$，
解得$a=\frac{5}{3}$或$a=\frac{1}{3}$。
(1) $b=3$，$m=-1$，方程组的解为$\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}$；
(2) $a=\frac{1}{3}$或$a=\frac{5}{3}$。