《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

9. 经典证明：欧几里得在《原本》中证明勾股定理的思路如下：如图1，首先分别以$ Rt \triangle ABC$三边为边长作正方形$ABFE$、正方形$AJKC$、正方形$BCIH$.过点$C$作$AB$的垂线，交$AB$于点$D$，交$FE$于点$G$，然后证明正方形$BCIH$的面积与长方形$BDGF$的面积相等，正方形$AJKC$的面积与长方形$ADGE$的面积相等，最后得出正方形$ABFE$的面积等于正方形$AJKC$与正方形$BCIH$的面积之和，从而完成勾股定理的证明.
方法点拨：如图2，连接$HA,CF$，可证明$\triangle ABH \cong \triangle FBC$，从而得到$S_{\triangle ABH}=S_{\triangle FBC}$，利用平行线的相关性质可以得到$S_{\triangle ABH}=\frac{1}{2} S_{ 正方形BCIH}$，$S_{\triangle FBC}=\frac{1}{2} S_{ 长方形BFGD}$，于是得到$S_{ 正方形BCIH}=S_{ 长方形BFGD}·s$.
问题解决：请你结合“经典证明”的思路与“方法点拨”证明勾股定理.

答案： 证明：设$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90°$，$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$。以$BC,AC,AB$为边分别作正方形$BCIH$、$AJKC$、$ABFE$，其面积分别为$a^2,b^2,c^2$。过点$C$作$CD\perp AB$于$D$，交$FE$于$G$。
一、证明$S_{正方形BCIH}=S_{长方形BDGF}$
1. 连接$HA,CF$。
2. 证$\triangle ABH\cong\triangle FBC$：
正方形$BCIH$中，$BH=BC=a$，$\angle HBC=90°$；
正方形$ABFE$中，$BF=AB=c$，$\angle ABF=90°$；
$\angle ABH=\angle ABC+\angle HBC=\angle ABC+90°$，$\angle FBC=\angle ABC+\angle ABF=\angle ABC+90°$，故$\angle ABH=\angle FBC$。
由$SAS$得$\triangle ABH\cong\triangle FBC$，则$S_{\triangle ABH}=S_{\triangle FBC}$。
3. 面积关系推导：
$S_{\triangle ABH}=\frac{1}{2}S_{正方形BCIH}$：$\triangle ABH$以$BH$为底（$BH=a$），高为$BC=a$（正方形边长），故$S_{\triangle ABH}=\frac{1}{2}× a× a=\frac{1}{2}a^2=\frac{1}{2}S_{正方形BCIH}$。
$S_{\triangle FBC}=\frac{1}{2}S_{长方形BDGF}$：$\triangle FBC$以$BF$为底，高为$BD$（$CD\perp AB$，$GD// BF$），长方形$BDGF$面积$=BF× BD$，故$S_{\triangle FBC}=\frac{1}{2}× BF× BD=\frac{1}{2}S_{长方形BDGF}$。
4. 综上，$\frac{1}{2}S_{正方形BCIH}=\frac{1}{2}S_{长方形BDGF}\Rightarrow S_{正方形BCIH}=S_{长方形BDGF}=a^2$。
二、证明$S_{正方形AJKC}=S_{长方形ADGE}$
1. 连接$AJ,EK$（类比上述方法）。
2. 证$\triangle AJC\cong\triangle ADE$：
正方形$AJKC$中，$AJ=AC=b$，$\angle JAC=90°$；
正方形$ABFE$中，$AE=AB=c$，$\angle BAE=90°$；
同理可证$\angle JAC=\angle DAE$，由$SAS$得$\triangle AJC\cong\triangle ADE$，则$S_{\triangle AJC}=S_{\triangle ADE}$。
3. 面积关系推导：
$S_{\triangle AJC}=\frac{1}{2}S_{正方形AJKC}$：$\triangle AJC$以$AJ$为底（$AJ=b$），高为$AC=b$，故$S_{\triangle AJC}=\frac{1}{2}× b× b=\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}S_{正方形AJKC}$。
$S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}S_{长方形ADGE}$：$\triangle ADE$以$AE$为底，高为$AD$，长方形$ADGE$面积$=AE× AD$，故$S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}× AE× AD=\frac{1}{2}S_{长方形ADGE}$。
4. 综上，$\frac{1}{2}S_{正方形AJKC}=\frac{1}{2}S_{长方形ADGE}\Rightarrow S_{正方形AJKC}=S_{长方形ADGE}=b^2$。
三、结论
$S_{正方形ABFE}=S_{长方形BDGF}+S_{长方形ADGE}\Rightarrow c^2=a^2+b^2$，即$BC^2+AC^2=AB^2$。
故勾股定理得证。