《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

7. 如图，$AD$，$BC$相交于点$O$，$AD = BC$，$\angle C = \angle D = 90^{\circ}$.
（1）求证：$AC = BD$；
（2）若$\angle ABC = 35^{\circ}$，求$\angle CAO$的度数.

答案： （1）证明：在$Rt\triangle ACB$和$Rt\triangle BDA$中，
$\left\{\begin{array}{l} BC=AD\\ AB=BA\end{array}\right.$
$\therefore Rt\triangle ACB≌Rt\triangle BDA(HL)$
$\therefore AC=BD$
（2）$\because Rt\triangle ACB≌Rt\triangle BDA$
$\therefore \angle BAD=\angle ABC=35^{\circ }$
$\because \angle C=90^{\circ }$
$\therefore \angle BAC=90^{\circ }-\angle ABC=90^{\circ }-35^{\circ }=55^{\circ }$
$\therefore \angle CAO=\angle BAC-\angle BAD=55^{\circ }-35^{\circ }=20^{\circ }$

8. 如图，$Rt\triangle ABC$与$Rt\triangle DEF$的顶点$A$，$F$，$C$，$D$共线，$AB$与$EF$交于点$G$，$BC$与$DE$相交于点$H$，$\angle B = \angle E = 90^{\circ}$，$AF = CD$，$AB = DE$.
（1）求证：$Rt\triangle ABC \cong Rt\triangle DEF$；
（2）若$GF = 1$，求线段$HC$的长.

答案： （1）见证明；（2）1。

9. 如图，在四边形$ABCD$中，$AC$平分$\angle BAD$，并且$CB = CD$.求$\angle ABC + \angle ADC$的度数.

答案： 作$CE\perp AB$于$E$，$CF\perp AD$交$AD$的延长线于$F$。
$\because AC$平分$\angle BAD$，$CE\perp AB$于$E$，$CF\perp AD$交$AD$的延长线于$F$，
$\therefore \angle CFA = \angle CEB = 90^{\circ}$，$CE = CF$。
在$Rt\triangle CEB$和$Rt\triangle CFD$中，
$\begin{cases}CB = CD, \\CE = CF.\end{cases}$
$\therefore Rt\triangle CEB\cong Rt\triangle CFD(HL)$，
$\therefore \angle CBE = \angle CDF$。
$\because \angle CBE+\angle ABC = 180^{\circ}$，$\angle ADC+\angle CDF = 180^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC+\angle ADC = 180^{\circ}$。
综上，$\angle ABC + \angle ADC$的度数为$180^{\circ}$。