《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

21. （15分）如图，点$O$是等边三角形$ABC$内一点，$D$是$\triangle ABC$外的一点，$\angle AOB = 110°$，$\angle BOC = \alpha$，$\triangle BOC \cong \triangle ADC$，$\angle OCD = 60°$，连接$OD$。
(1) 求证：$\triangle OCD$是等边三角形；
(2) 当$\alpha = 150°$时，试判断$\triangle AOD$的形状，并说明理由；
(3) 探究：当$\alpha$为多少度时，$\triangle AOD$是等腰三角形。

答案：
(1)
$\because \triangle BOC\cong \triangle ADC$，
$\therefore OC = DC$。
$\because \angle OCD = 60^{\circ}$，
$\therefore \triangle OCD$是等边三角形。
(2)
$\triangle AOD$是直角三角形。
理由如下：
$\because \triangle OCD$是等边三角形，
$\therefore \angle ODC = 60^{\circ}$。
$\because \triangle BOC\cong \triangle ADC$，$\angle BOC = 150^{\circ}$，
$\therefore \angle ADC=\angle BOC = 150^{\circ}$。
$\therefore \angle ADO=\angle ADC - \angle ODC=150^{\circ}- 60^{\circ}=90^{\circ}$。
$\therefore \triangle AOD$是直角三角形。
(3)
由$\triangle OCD$是等边三角形，得$\angle DOC=\angle ODC = 60^{\circ}$。
$\because \angle AOB = 110^{\circ}$，$\angle BOC=\alpha$，$\angle AOD = 360^{\circ}-\angle AOB-\angle BOC-\angle COD=360^{\circ}-110^{\circ}-\alpha - 60^{\circ}=190^{\circ}-\alpha$。
$\because \triangle BOC\cong \triangle ADC$，
$\therefore \angle ADC=\angle BOC=\alpha$，
$\therefore \angle ADO=\angle ADC-\angle ODC=\alpha - 60^{\circ}$。
在$\triangle AOD$中，$\angle OAD = 180^{\circ}-\angle AOD-\angle ADO=180^{\circ}-(190^{\circ}-\alpha)-(\alpha - 60^{\circ}) = 50^{\circ}$。
当$\triangle AOD$是等腰三角形时：
①当$AO = AD$时，$\angle AOD=\angle ADO$，
即$190^{\circ}-\alpha=\alpha - 60^{\circ}$，
$2\alpha=250^{\circ}$，
解得$\alpha = 125^{\circ}$。
②当$OA = OD$时，$\angle OAD=\angle ADO$，
即$\alpha - 60^{\circ}=50^{\circ}$，
解得$\alpha = 110^{\circ}$。
③当$OD = AD$时，$\angle OAD=\angle AOD$，
即$190^{\circ}-\alpha = 50^{\circ}$，
解得$\alpha = 140^{\circ}$。
综上，当$\alpha = 125^{\circ}$或$110^{\circ}$或$140^{\circ}$时，$\triangle AOD$是等腰三角形。

22. （16分）在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$D$是直线$BC$上一点，以$AD$为一条边在$AD$的右侧作$\triangle ADE$，使$AE = AD$，$\angle DAE = \angle BAC$，连接$CE$。设$\angle BAC = \alpha$，$\angle DCE = \beta$。
(1) 如图，当点$D$在$BC$延长线上移动时，$\alpha$与$\beta$之间有什么数量关系？请说明理由；
(2) 当点$D$在直线$BC$上（不与$B$，$C$两点重合）移动时，$\alpha$与$\beta$之间有什么数量关系？请直接写出你的结论。

答案：
(1) α=β。理由如下：
∵AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=α，
∴∠BAC - ∠DAC=∠DAE - ∠DAC，即∠BAD=∠CAE。
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=AC\\∠BAD=∠CAE\\AD=AE\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE(SAS)。
∴∠ABD=∠ACE。
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=γ，α+2γ=180°。
∵∠ACB+∠ACD=180°，
∴∠ACD=180°-γ。
∵∠ACD=∠ACE+∠DCE，∠ACE=∠ABD=γ，
∴180°-γ=γ+β，即β=180°-2γ。
又α=180°-2γ，
∴β=α。
(2) β=α或α+β=180°。